宜城三中2012—2013学年度高二下学期

数学期中考试试卷（理科）

命题人：官雄平 时间：120分钟 总分：150分

一?选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)

1.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( )

①所有的质数（素数）都是奇数; ②?x∈R,(x-1)2+1≥1;

③有的无理数的平方还是无理数.

A.0 B.1 C.2 D.3

2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（ ）

A．x–y= 0 B. x +y=0 C.|x|=|y| D.y=|x|

3．已知椭圆
上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（ ）

A. 2 B. 4 C. 8 D.

4．已知点
，则点A关于X轴对称的点的坐标为（ ）A．
B．
C．
D．

5.若n＝(1，－2,2)是平面
的一个法向量，则下列向量能作为平面
法向量的是(　　)

A．(1，－2,0) B．(0，－2,2)

C．(2，－4,4) D．(2,4, 4)

6.已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|=( )

A．14　　 B.　 　 C．4　　 D．2

7．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)

A．1　　　　 B．2　　　　 C．4　　　　 D．8

8．下列各组向量中不平行的是（ ）

A．
B．

C．
D．

9．条件p：
，
，条件q：
，
，则条件p是条件q的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 　

C．充要条件　 D．即不充分也不必要条件

10已知F是椭圆
(a>b>0)的左焦点, P是椭圆上的一点, PF⊥x轴, OP∥AB(O为原点), 则该

椭圆的离心率是 ( )

A.
B.
C.
D.

二?填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)

11.抛物线
的焦点坐标是

12. 若向量
，则这两个向量的位置关系是______

13．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉=__

14.椭圆
的一个焦点是
，那么

15.已知命题p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题?p是真命题,那么实数a的取值范围是________.

三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)

16.已知命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“?x0∈R, x20+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.

17．已知△ABC中，A、B的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.

18．已知
与
垂直，且
与
垂直，求〈
〉

19.已知命题p:“对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥
恒成立”;命题q:“不等式x2+ax+2<0有解”.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.

20．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.

21.已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．

(1)求椭圆C的方程；

(2) E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值

2012--2013高二下学期期中考试

数学答案 (理科)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

B

A

C

B

C

D

A

A





11.
12. 垂直 13.  14. 1 15. a≤

16.解:由“p且q”是真命题,

则p为真命题,q也为真命题. （2分）

若p为真命题,a≤x2恒成立,

∵x∈[1,2],∴a≤1. （4分）

若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,

即a≥1或a≤-2, （8分）

综上所求实数a的取值范围为 a≤-2或a=1. （12分）

17．解：设C(x, y), 则

（x≠±5） （4分）

由
（8分）

所以动点C的轨迹方程为

(x≠±5） （12分）

18. (a＋3b)·(7a－5b)

＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， （3分）

(a－4b)(7a－2b)

＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0， （6分）

解得：|b|2＝2a·b＝|a|2， （8分）

∴cos〈a，b〉＝＝， （10分）

∴〈a，b〉＝60°. （12分）

19.解:∵m∈[-1,1],

∴
∈[2
,3]. （2分）

∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥
恒成立,可得a2-5a-3≥3, （4分）

∴a≥6或a≤-1.

故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1. （6分）

又命题q:不等式x2+ax+2<0有解,

∴Δ=a2-8>0,∴a>2
或a<-2
. （8分）

从而命题q为假命题时,-2
≤a≤2
,

∴命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围（10分）

为-2
≤a≤-1. （12分）

20. 解:建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，

设E(2，y，z)?＝(2，y－2，z－3)，

＝(1,2,0)，＝(2,0,3)， （4分）

∵D1E⊥平面AB1F，

∴ （8分）

即，解得（11分）

∴E(2,1，)即为所求． （13分）

21. 解:(1)由题意c＝1， （2分）

由定义|F1A|＋|F2A|

＝＋＝4＝2a，

∴a＝2，∴b＝， （4分）

∴椭圆方程为＋＝1. （6分）

(2)设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0 （8分）

设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，

所以xE＝，yE＝kxE＋－k （10分）

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k. （12分）

所以直线EF的斜率

kEF＝＝＝，

即直线EF的斜率为定值，其值为. （14分）