数学理

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1. 曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为(　　)

A. y＝x－1　　　B. y＝－x＋1 C. y＝2x－2　　 D. y＝－2x＋2

2. 函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)

A. xsin x B. －xsin x C. xcos x D. －xcos x

3. 下列推理是归纳推理的是(　　)

A. A、B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆

B. 由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

C. 由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab

D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

4. 若函数f(x)＝x3－f′(－1)x2＋x＋5，则f′(1)的值为(　　)

A. 2 B. －2 C. 6 D. －6

5. 如图，把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是(　　)

A. 27　　　 　B. 28　　　 　C. 29　　　 　D. 30

6. 命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立(　　)A. 不成立 B. 成立　C. 不能断定 D. 能断定

7. 已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为(　　) A. g B. g C. g D. 2g

8. 用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到(　　)

A. 1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1

B. 1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1＋2k＋1

C. 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1

D. 1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1

9. 函数y＝x3－3x2－9x(－2

A. 极大值为5，极小值为－27 B. 极大值为5，极小值为－11

C. 极大值为5，无极小值 D. 极大值为－27，无极小值

10. 若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)A. (－2,2) B. [－2,2] C. (－∞，－1) D. (1，＋∞)

二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷中．

11．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋1，则f(1)＋f′(1)＝________.

12. 4xdx＝________.

13. 观察以下三个等式：(1)13＋23＝9；(2)13＋23＋33＝36；(3)13＋23＋33＋43＝100，归纳其特点可以获得一个猜想是13＋23＋33＋…＋n3＝______________.

14. 函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．

15. 关于函数极值的说法正确的有________．

①函数的极大值一定大于它的极小值；

②导数为零的点不一定是函数的极值点；

③若f(x)在区间(a，b)内有极值点，那么f(x)在区间(a，b)上一定不单调；

④f(x)在区间[a，b]上的最大值，一定是f(x)在区间(a，b)上的极大值．

三、解答题（共75分）

16．（本小题满分12分）

求下列函数的导数：

(1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝xsin x； (3)y＝.

17．（本小题满分12分）

函数f(x)＝exsin x在区间上的值域

18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．

(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；

(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．

19. （本小题满分13分） 用数学归纳法证明：

1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝n(3n－1)．

20. （本小题满分13分） 已知函数
在
上是减函数，在
上是增函数，函数
在
上有三个零点．

（1）求
的值；

（2）若1是其中一个零点，求
的取值范围；

21. （本小题满分13分）已知函数

（1）求函数
在[1，e]上的最大值，最小值；

（2）求证：在区间
上，函数
的图象在函数
图象的下方。

怀远县包集中学高二第二学期期中考试

数学答案（理科）

选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

C

B

B

C

D

C

A





二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷中．

三、解答题（共75分）

16．（本小题满分12分）求下列函数的导数：

(1)y＝x4－3x2－5x＋6； (2)y＝xsin x； (3)y＝.

(1)y′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′

＝4x3－6x－5.

(2)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′＝sin x＋xcos x.

(3)y′＝

＝＝.

17．（本小题满分12分）函数f(x)＝exsin x在区间上的值域

f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．

∵x∈，∴f′(x)＞0，

∴f(x)在上是单调递增函数，

∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)max＝f＝e.

[0，e]

18．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x3－3ax2－bx，其中a，b为实数．

(1)若f(x)在x＝1处取得的极值为2，求a，b的值；

(2)若f(x)在区间[－1,2]上为减函数，且b＝9a，求a的取值范围．

(1)由题设可知：f′(1)＝0且f(1)＝2，

即解得

(2)∵当a≠0时，f′(x)＝3x2－6ax－b＝3x2－6ax－9a，又f(x)在[－1,2]上为减函数，

∴f′(x)≤0对x∈[－1,2]恒成立，

即3x2－6ax－9a≤0对x∈[－1,2]恒成立，

∴f′(－1)≤0且f′(2)≤0，

即??a≥1.

∵
在
上是减函数，在
上是增函数，

∴当
时，
取到极小值，即
．

∴
．………………6分

∴
＜
，得证