嘉祥一中2012—2013学年高二3月质量检测

数学（理）

一．选择题：本大题共l2小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分60分．

1.函数
的导数是（ ）

A．
B.
C．
D．

2.积分
（ ）

A．
B．
C．
D．

3.曲线
在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）

A .
B.
　 C.
　 D.

4．设函数
，则（ ）　

A．
为
的极大值点 B．
为
的极小值点

C．
为
的极大值点 D．
为
的极小值点

5．如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（ ）

A．D=0,E≠0, F≠0; B．E=F=0,D≠0; C．D=F=0, E≠0; D．D=E=0,F≠0;

6.设、是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（ ）

A．若
，
，则
B．若
，
，则

C．若
，
，则
D．若
，
，则

7.已知
（为常数）在
上有最大值
，那么此函数在
上的最小值为（ ）

A．-37 B．-29 C．-5 D．-11

8.当
时，有不等式 （ ）

A．
B．

C．当
时
，当
时

D．当
时
，当
时

9.曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．

10.关于的不等式
的解为
或
，则的取值为（ ）

A．2 B．
C．－
D．－2

11．如果
对任意实数x总成立,则a的取值范围是　　　　（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知函数
，
，且
，当
时，
是增函数，设
，
，
，则、
、的大小顺序是（ ）。

.
.

.
.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13. 设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
．

14.若
有极大值和极小值，则的取值范围是__ .

15.函数
在
上有最大值3，那么此函数在
上的最小值为_____

16.若函数
在
处取极值，则
.

三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．

17. （本小题满分10分）

已知：以点C (t, )(t∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与轴交于点O, A，与y轴交于点O, B，其中O为原点．

（1）求证：△OAB的面积为定值；

（2）设直线y = –2x+4与圆C交于点M, N，若|OM| = |ON|，求圆C的方程．

18.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求曲线
在点
处的切线方程；

（2）直线
为曲线
的切线，且经过原点，求直线
的方程及切点坐标．

19. （本小题满分12分）

已知圆C：
内有一点P（2，2），过点P作直线
交圆C于A、B两点。

（1）当
经过圆心C时，求直线
的方程；

（2）当弦AB的长为
时，写出直线
的方程。

20. (本小题满分12分)

已知曲线
在点
处的切线
平行直线
，且点
在第三象限.

（1）求
的坐标；

（2）若直线
, 且
也过切点
,求直线
的方程.

21. (本小题满分12分)

已知函数
，设

（1）求
的单调区间；

（2）若以
图象上任意一点
为切点的切线的斜率
恒成立，求实数的最小值；

（3）是否存在实数，使得函数
的图象与
的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。

22．(本小题满分12分)

若存在实常数
和
，使得函数
和
对其定义域上的任意实数分别满足：
和
，则称直线
为
和
的“隔离直线”．已知
，
为自然对数的底数)．

（1）求
的极值；

（2）函数
和
是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．

参考答案:

1-5 CBDDA 6-10 BABDD 11-12 AB

13.2 14.
或
15.
16. 3

当
时，圆心
的坐标为
，
，

此时
到直线

的距离
，

圆
与直线
相交于两点．

当
时，圆心
的坐标为
，
，

此时
到直线
的距离

圆
与直线

不相交，

不符合题意舍去．

圆
的方程为

18.解：（1）

在点
处的切线的斜率
，

切线的方程为
；

（2）设切点为
，则直线
的斜率为
，

直线
的方程为：
．

又直线
过点
，

，

整理，得
，
，

，

的斜率
，直线
的方程为
，切点坐标为
．

19. （1）圆心坐标为（1，0），
，
，整理得
。

（2）圆的半径为3，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
，整理得

，圆心到直线l的距离为

，

解得
，代入整理得
。

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
，经检验符合题意。

直线l的方程为
或
。

20.解： （1）由
=4得
或

又因为点
在第三象限，所以
，所以

所以

（2）因为
，所以
,所以
方程为：

化简得

21.（1）
）

由
。

（2）

当

（3）若
的图象与

的图象恰有四个不同交点，

即
有四个不同的根，亦即

有四个不同的根。

令
，

则
。

当变化时
的变化情况如下表：



(-1,0)

(0,1)

(1,
)




的符号

+

-

+

-




的单调性

↗

↘

↗

↘



由表格知：
。

画出草图和验证
可知，当
时，

22.解(1)

，

．

当
时，
．

当
时，
，此时函数
递减；

当
时，
，此时函数
递增；

∴当
时，
取极小值，其极小值为
．

(2) ：由（1）可知函数
和
的图象在
处有公共点，因此若存在
和
的隔离直线，则该直线过这个公共点．

设隔离直线的斜率为
，则直线方程为
，即
．

由
，可得
当
时恒成立．

，

由
，得
．

下面证明
当
时恒成立．

令

，则

，

当
时，
．

当
时，
，此时函数
递增；

当
时，
，此时函数
递减；

∴当
时，
取极大值，其极大值为
．

从而
，即
恒成立．

∴函数
和
存在唯一的隔离直线
．