第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题（10个小题，每小题5分，共50分）

1．“
”是“
”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要

2．向量
=(－2,－3,1),
=(2,0,4),
=(－4,－6,2),下列结论正确的是( )

A．
∥
,
⊥
B．
∥
,
⊥

C．
∥
,
⊥
D． 以上都不对[来源:学§科§网][来源: Zxxk.Com]

3．为虚数单位，则
=

A．- B．-1 C． D．1

4．复数
，
为的共轭复数，则

A．
B．
C． D．

5．已知命题p: x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≥0,则p是 （　　）

A． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

B． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)≤0

C． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

D． x1,x2R,(f(x2) f(x1))(x2x1)<0

6.函数
的导函数图像如图所示，则函数
的极小值点个数有

A．
个 B．个

C．个 D．
个

7. 双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　)

A．－ B．－4 C．4 D.

8．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是

（A）AC⊥SB

（B）AB∥平面SCD

（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

9．若椭圆和双曲线具有相同的焦点
，离心率分别为
， 是两曲线的一个公共点，且满足
，则
的值为( )

A．4 B．2 C． 1 D．

10.定义在R上的函数
满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，已知函数y=f′（x）的图象如图所示．若正数a，b满足f（2a+b） <1，则
的取值范围是

A．（
） B．（

C．
D．（

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.已知关于x的方程x2-(1-i)x+m+2i=0有实根，则m=

12. 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是__________．

13．若直线
是曲线
的切线，则实数的值为 .

14．已知命题：“
”，命题：“
，
”，
若命题“且”是真命题，则实数的取值集合是____

15.曲线C是平面内与两个定点F1（-1，0）和F2（1， 0）的距离的积等于常数a2(a>1)
的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于
a
。

其中，所有正确结论的序号是__________。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．设p:实数x满足
<0,其中a<0；q:实数x满足
≥0,且p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.

18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=
+10(x-6)2，其中3

(I）求a的值

(II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

19．如图所示，正三棱柱
的底面边长是2，侧棱长是
，D是AC的中点。

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小；

（Ⅲ）求点到平面
的距离.

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

(Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ）若直线L:与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左，右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

21．已知函数
．

(1）求函数
的最大值；

(2）若对任意x>0，不等式
恒成立，求实数的取值范围；

(3）若
，求证：
．

雅安中学2012-2013学年高二下期月考试题（4月）

数 学 试 题（理科）参考答案

15.②③

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.解:将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系,从而列出a所满足的不等式去求解.

解法一:设A={x|x2-4ax+3a2<0,a<0}={x|3a

B={x|
≥0 }={x|x<-4或x≥-2}.

…………………………4分

∵p是q的必要不充分条件,∴q
p,且pq, 即{x|q}{x|p}.

而{x|q}=CRB={x|-4≤x＜-2},{x|p}=CRA={x|x≤3a或x≥a,a<0},

∴{x|-4≤x＜-2}{x|x≤3a或x≥a,a<0}. …………………………8分

则
或
即-
≤a＜0或a≤-4. …………………………12分

解法二:本题也可依据四种命题间的关系进行等价转化.

由p是q的必要不充分条件,转化成它的逆否命题q是p的必要不充分条件,即p 是q的充分不必要条件,也就是p
q且qp. …………………………4分

化简条件p得,A={x|3a

由AB,得
或
解得a≤-4或-
≤a＜0. ……………………12分

17.解析:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F
,设M
,
,由题意可知
,则点Q到抛物线C的准线的距离为

,解得
,于是抛物线C的方程为
. ………6分

(Ⅱ)︱AB︱=2………12分

18．（I）因为x=5时，y=11，所以
………4分

(II）由（I）可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

从而，

于是，当x变化时，
的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点；

所以，当x=4时，函数
取得最大值，且最大值等于42。………12分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大

19．解：（Ⅰ）证明：设
与
相交于点P，连结PD，

则P为
中点，

D为AC中点，
//
。

又PD平面
，

//平面
D ………（4分）

（Ⅱ）解法一：由正三棱柱
中D是AC的中点，

知
，又

，

故，
为二面角
的平面角，

又
，
，
，

，即二面角
的大小为
. ……（8分）

（Ⅱ）解法二：如图建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（1，0，0），
（1，0，
），B（0，
，0），
（0，
，
）

=（-1，
，-
），
=（-1，0，-
）

设平面
的法向量为n=（x，y，z）

则n

n

则有
，令
，得n=（
，0，1）

由题意，知
=（0，0，
）是平面ABD的一个法向量。

设n与
所成角为
，则
，

二面角
的大小是
……（8分）

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知
、
，

设点到平面
的距离为
，则

，故，

解得：
，即点到平面
的距离为
. …………（12分）

（Ⅲ）解法二：由（Ⅱ）已知，得
=（1，，），n=（
，0，1）

则

即点到平面
的距离为
. …………（12分）

20．【答案】（I）∴
…………（5分）

(II）设
，由
得
，

以AB为直径的圆过椭圆的右顶点

，

，
，

解得
，且满足

当
时，
，直线过定点
与已知矛盾；

当
时，
，直线过定点

综上可知，直线
过定点，定点坐标为
…………（13分）

21． (1）
，则
．

当
时，
，则
在
上单调递增；

当
时，
，则
在
上单调递减，

所以，
在
处取得最大值，且最大值为0．

(2）由条件得
在
上恒成立．

设
，则
．

当 x∈(0,e)时，
；当
时，
，所以，
．

要使
恒成立，必须
．

另一方面，当
时，
，要使
恒成立，必须
．

所以，满足条件的的取值范围是
．

(3）当
时，不等式
等价于．ln
>

令
，设
，则′(t)=
>0，

在
上单调递增，
，

所以，原不等式成立．