台州中学2012学年第二学期期中试题

高二 数学（文科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 数
，则
在复平面内的对应点位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2. 已知
，若
（其中
为虚数单位），则 （ ）

A．
B．

C．
D．

3. 类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）

①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．

A．① B．①② C．①②③ D．③

4. “
”是 “
”的 ( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.下列结论正确的是 （ ）

A．当
B．

C．
D．

6.不等式
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．函数
，则
的解集为（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 公比为4的等比数列
中,若
是数列
的前
项积,则有
也成等比数列，且公比为
；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列
中，若
是
的前
项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（ ）

A．100 B．200 C．300 D．400

9．已知正数
满足
，则
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．设
分别为椭圆
的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若
，

则点A的坐标是（ ）

A．
B.
C．
D.

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分.

11．若
,
，且
为纯虚数，则实数
的值为 ▲ .

12．已知
是实数集，
，则
▲ .

13. 不等式
的解集是 ▲ .

14．已知函数
在点（2，f（2））处的切线方程为
，则函数
在点（2，g（2））处的的切线方程为 ▲ .

15．设
，若
恒成立，则实数
的最大值为 ▲ .

16．已知F1，F2是双曲线C：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与
的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : |AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为 ▲ .

17．已知函数
，给出如下四个命题：

①
在
上是减函数；②
的最大值是2；

③函数
有两个零点；④
在R上恒成立.

其中正确的命题有 ▲ .（把正确的命题序号都填上）.

三、解答题：本大题共5小题，共49分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18．（本题满分9分）设
．

　（1）求 | z1| 的值以及z1的实部的取值范围；

　（2）若
，求证：
为纯虚数．

19．（本题满分10分）已知数列
，其前
项和为
．

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）猜想
的表达式，并给出证明．

20. (本题满分10分)

（1）经计算发现：
，

试写出一个使
成立的正实数
满足的条件，并给出证明；

（2）若不等式
对任意的正实数
恒成立，

求实数
的取值范围．

21. (本题满分10分)已知函数
．

（1）若
时，
取得极值，求实数
的值；

（2）求
在
上的最小值；

（3）若对任意
，直线
都不是曲线
的切线，求实数
的取值范围．

22．（本小题满分10分）已知动圆过定点
，且与直线
相切．

（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；

（2）抛物线C上一点
，是否存在直线
与轨迹C相交于两不同的点B，C，使
的垂心为
？若存在，求直线
的方程；若不存在，说明理由．

台州中学2012学年第二学期期中试题

高二 数学（文科）答案

1．D 2．A 3. C 4．B 5．B 6．C 7．B 8．C 9．A 10．D

11．
12．
13．
14．
15．12 16．
17．①③④．

18. 解：（Ⅰ）设
，则

因为
是实数，
，于是有
，即
，还可得
，

由-1≤z2≤1，得-1≤2a≤1，解得
，即z1的实部的取值范围是
．……5分

（Ⅱ）

因为
，b≠0，所以
为纯虚数．…………………………………………………9分

19．（Ⅰ）
；
；
；
…………………………………………………4分

（Ⅱ）猜想

……………………………………10分

用数学归纳法证明同样给分．

20．（Ⅰ）使
成立的正实数
满足的条件是

证明：

用柯西不等式证明同样给分 ；…………………………………………………………5分

（Ⅱ）由柯西不等式得

即

即
，当且仅当
取等号

因不等式
对任意的正实数
恒成立，

即
对任意的正实数
恒成立，故

用基本不等式证明同样给分．………………………………………………………………10分

21．（Ⅰ）因为
由题意得
则

当
时
，当
时，
，

所以
在
时取得极小值，即
符合题意；…………………………………………3分

（Ⅱ）当
时，
对
恒成立，所以
在
上单调递增，

故

当
时，由
得

当
时，
时，
，
在
上单调递减，

时，
，
在
上单调递增，

当
时，
时，
，
在
上单调递减，

综上所述
；……………………………………………………7分

（Ⅲ）因为
，直线
都不是曲线
的切线，

所以
对
恒成立，即
的最小值大于
，

而
的最小值为
所以
，即
． ………………10分

22．（Ⅰ）由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中
为焦点，
为准线，所以动圆的圆心M的轨迹C的方程为
；……………………………………………4分

（Ⅱ）由已知得
，直线
的斜率为
，由直线
的斜率为1，

设直线
的方程是
，由
，消去
得
，

由韦达定理得
，由
，得

由
，得
，

即

，

所以
，

即
，得
，

解得
或
，当
时，直线
的方程是
，过点
，不合，

所以存在这样的直线
，其方程是
．…………………………………………………10分