台州中学2012学年第二学期期中试题

高二 (理科) 数学

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．函数
，当自变量
由
变化到
时，函数
的改变量
为 （ ）

A．
B．

　 C．
D．

2．如图，下列哪个运算结果可以用向量
表示 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
,若
，则实数
的值为 （ ）

A.
B.
C.
D.

4．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )

A．两条直线平行，同旁内角互补，如果
和
是两条平行直线的同旁内角，则
．

B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质．

C．某校高二共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人．

D．在数列
中
，由此归纳出
的通项公式．

5．记
为虚数集，设
，
.则下列类比所得的结论正确的是 （ ）

A．由
，类比得

B．由
，类比得

C．由
，类比得

D．由
，类比得

6. 若
，则
等于 （ ）

A. －2 B. －4 C. 2 D. 0

7．用反证法证明命题“若
都是正数，则
三数中至少有一个不小于
”，提出的假设是 （ ）

A．
不全是正数 B．
至少有一个小于

C．
都是负数 D．
都小于

8. 如图是导函数
的图像，则下列命题错误的是（ ）

A．导函数
在
处有极小值

B．导函数
在
处有极大值

C．函数
处有极小值

D．函数
处有极小值

9. 已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当
时它也成立,下列判断中,正确的是( )

A.P(k)对k=2013成立 B.P(k)对每一个自然数k成立

C.P(k)对每一个正偶数k成立 D.P(k)对某些偶数可能不成立

10.定义在
上的单调递减函数
，若
的导函数存在且满足
，则下列不等式成立的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分.

11．设复数
，则
的值为 .

12．函数
处的切线方程是 .

13. 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是
的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
，类比到空间，有两个棱长均为
的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．

14. 函数
在区间
上的最大值为_______．

15. 若函数
在其定义域的一个子区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围_______．

16. 已知
，观察下列不等式：①
，②
③
，…，则第
个不等式为 .

17. 记
，
，…，

．

若
，则
的值为 .

三、解答题：本大题共5小题，满分49分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18. （本题满分9分）已知复数
，且
，若
在复平面中对应的点分别为
，求
的面积.

19.( 本题满分10分) 请观察以下三个式子:

①
;

②
;

③
，

归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之.

20.（本题满分10分）已知函数
.

（1）求：
的值；

（2）类比等差数列的前
项和公式的推导方法，求：

的值．

21. （本题满分10分）已知点是F抛物线
与椭圆
的公共焦点，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程；

（2）过抛物线上一点P，作抛物线的切线
，切点P在第一象限，如图，设切线
与椭圆相交于不同的两点A、B，记直线OP，FA,FB的斜率分别为
（其中
为坐标原点），若
，求点P的坐标.

22.（本题满分10分）已知

.

（1）
时，求
的极值;

（2）当
时，讨论
的单调性;

（3）证明：
（
，
，其中无理数
）

台州中学2012学年第二学期期中试题

高二 数学（理科）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

A

A

C

B

D

C

D

A



二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，满分21分.

11．
12．
13.
14.

15.
16.
17.

三、解答题：本大题共5小题，满分49分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

18.解：
……………3分

所以

所以
，即
……………9分

19.
……………3分

证明：①当
，左边=3，右边=3，
左边=右边

②假设当
时，命题成立，

即

则当
时

当
时命题成立,由（1）、（2）知，命题成立. ……………10分

20.(1)
,……………4分

(2)
……………6分

21.解（1）因为点F的坐标为
，则有
，

从而有
，故椭圆方程为
……………4分

（2）设
由
，得切线的斜率为
，从而切线
的方程为：
，

由
，得

设
则有
，

而

从而有
，又
，

则有
，而
，故有
，

得
，故
，即得点P的坐标为
.……………10分

22.解：
………………1分

（1）令
，知
在区间
上单调递增，
上单调递减，在
单调递增.故有极大值
，极小值
.………4分

（2）当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减

当
时，
单调递减

当
时，
上单调递减，
单调递增，
单调递减…………7分

（3）由（Ⅰ）当
时，
在
上单调递减.

当
时

∴
，即

∴

∴
.…………10分