康杰中学2012—2013学年度第三次月考

高二数学（文）试题

2013.3

本试卷满分 150分 考试时间 120分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 为虚数单位，则
的值是（ ）

A. – B. C. 1 D. －1

2．两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数
如下 ，其中拟合效果最好的模型是（ ）

A. 模型1的相关指数
为0.98 B. 模型2的相关指数
为0.80

C. 模型3的相关指数
为0.50 D. 模型4的相关指数
为0.25

3. 用反证法证明命题：“若
，
能被3整除，那么
中至少有一个能被3整除”时，假设应为（ ）

A．
都能被3整除 B．
都不能被3整除

C．
不都能被3整除 D．不能被3整除

4．用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为是实数，所以
，你认为这个推理（ ）

A．大前题错误 B．小前题错误 C．推理形式错误 D．是正确的

5．已知与之间的一组数据：

X

0

1

2

3



Y

1

3

5

7



则与的线性回归方程
必过（ ）

A．点
B．点
C．点
D．点

6．凸边形有
条对角线，则凸
边形对角线条数
为（ ）

A.
B．

C．
D．

7．如果女大学生身高x(cm)与体重y(kg)的关系满足线性回归模型y＝0.85x－88＋e，

其中|e|≤4，如果已知某女大学生身高160 cm，则体重预计不会低于（ ）

A．44 kg B．46 kg C．50 kg D．54 kg

8．已知
，
，
，…，依此规律，若
，则a，b的值分别是（ ）

A．65，8 B．63，8 C．61，7 D．48，7

9．满足条件|z+i|+|z－i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）

A．椭圆 B．两条直线 C．圆 D．一条直线

10．用演绎法证明函数
是增函数时的小前提是（ ）

A．增函数的定义 B．函数
满足增函数的定义

C．若
，则
D．若
，则

11．若复数
是纯虚数，则实数的值为（ ）

A．1 B．2 C．1或2 D．

12．若
，则下列不等式对一切满足条件的
恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)

①
； ②
； ③
； ④
； ⑤

A．①③⑤ B．②③④ C．①③④ D．②④⑤

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题纸非选择题答题区域内，用黑色字迹钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 复数
的实部为 ，虚部为 ．

14．由
=1，
写出的数列
的第34项为 ．

15．观察下列等式 1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

……

照此规律，第个等式为 ．

16. 若z∈Ｃ，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值为 ．

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分10分）

实数取什么值时，复数
是

（1）实数？ （2）虚数？

18. （本小题满分12分）在复数范围内，求满足|z|2－（z＋
）i＝

（i为虚数单位）条件的复数z.

19.（本小题满分12分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)的几组对照数据























（1）请画出上表数据的散点图；

（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；

（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性

回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式
＝
，
＝
－

。

20．(本小题满分12分)

一个平面用条直线去划分，最多将平面分成
个部分．

（1）求

（2）观察
有何规律，用含的式子表示（不必证明）；

（3）求出
．

21．（本小题满分12分）设函数
,、

，

（Ⅰ）用分析法证明：
；

（Ⅱ）设
，求证：
中至少有一个大于
.

22．(本小题满分12分)

在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．

（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；

（2）根据所给的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？可能用到的公式和数据：

1．

2．临界值确定表

P(K2≥k0)

0.50

0.40

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k0

0.455

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828





高二数学（文）答案

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 1，－1 14．
15.
16. 3

三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分10分）

18. 解：原方程化简为|z|2－（z＋
）i＝1－i，

设z＝x＋yi（x、y∈R），代入上述方程得x2＋y2－2xi＝1－i，……..4

∴x2＋y2＝1且2x＝1，解得x＝
且y＝
， …….10

∴原方程的解是z＝

i. ……12

19. 解： (1)如下图

(2)
=32.5+43+54+64.5=66.5

=
=4.5，
=
=3.5，
=
+
+
+
=86

，

故线性回归方程为y=0.7x+0.35

(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7100+0.35=70.35

故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)

20．(本题满分12分)

解：（1）易知



-----------------4分

（2）

猜想
--------------------------8分

（3）把（2）中的
个式子相加得，

故
----------------------------12分

21、（Ⅰ）欲证
即证
2分

只要证

、

，只要证 3（
）
即
，6分

因为
显然成立，故原不等式成立。 5分

（Ⅱ）假设
,6分

由于、

, ∴
,

两式相加得:
,即
, 与条件
矛盾,

故
中至少有一个大于
. 12分

22．解：(1)列联表如下：--------------------------------------------------4分

看电视

运动

合计



女性

43

27

70



男性

21

33

54



合计

64

60

124





(2) 提出假设
：“休闲方式与性别无关”，------------------6分

由公式算得k＝≈6.201，----------------9分

比较P(K2≥5.024)＝0.025，

所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即我们有97.5%的

把握认为“休闲方式与性别有关”．------------------------------12分