麓山国际实验学校2013-2014-2学年高一第二次月考数学试卷

一：选择题（本大题共15道小题，每小题3分，每小题有且仅有一个正确答案）

1.不论k取何值，直线
的倾斜角是（ ）

A.
B .
C.
D. 与k有关

2.已知直线m、n与平面α、β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．其中正确命题的个数是(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3

3.直线x-y+1=0截圆
的弦长等于（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

4.
的等比中项是（）

A. 1 B.
C. -1 D. 以上选项都不对

5、
为等差数列
的前项和，已知
，求
（ ）

A．25 B．30 C．35 D． 105

在
中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若A:B:C=1: 2:3,则a:b:c=( )

A.1:2:3 B.2:3:4 C.3:4:5 D.

7.已知
则其中最大的是（ ）A． B．
C． D．不确定

8数列0.3,0.33,0.333,0.3333,...的一个通项公式
等于（ ）

B.
C.
D.

9.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(　　)

A．4 B．6 C．8 D．12

10.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：

按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ ）

B．
C．
D．

已知
,则这个数列的前100项中最大项和最小项分别是（ ）

B.
C.
D.

12.某镇人口第二年比第一年增长
，第三年比第二年增长
，又这两年的平均增长率为
，则与
的关系为（ ）．

A．
B．
C．
D．

13.已知方程
的两根是
,且
则
的取值范围是（ ）

A.(-2,-
) B.[-2,-
) C.(-1,-
) D.(-2,-1)

14.对任意a [-1,1],函数f(x)=
+(a-4)x+4-2a的值恒大于零，则x的取值范围是（ )

A.13 C.12

15.设第一象限内的点（x，y）满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为40，则
的最小值为( )

A．
B．
C．1 D． 4

二.填空题(本大题共5小题，每小题3分，请将正确答案填写在答题卡上）

16.在△
中，角、、
所对的边分别是、
、，若
、
、
，则

17.在数列
中，若
，则数列的通项
__________．

18.若直线y=x+k与曲线x=
恰有一个公共点，则k的取范围是____

19.已知点A(0,2),B(2,0)若点C在函数y=
的图像上，则使△
面积为2的点C的个数是_______

20.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．

三：解答题（本大题共5小题，每小题8分，在答题卡上写出必要的解答过程）

21.已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC．

求证：AD⊥平面SBC．

22.已知M与两定点O(0,0)、A(3,0)的距离之比为．

(1)求M点的轨迹方程；

(2)若M的轨迹为曲线C，求C关于直线2x＋y－4＝0对称的曲线C′的方程．

23.已知：A、B、C是
的内角，
分别是其对边长，向量
，
，
.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若
求
的长.

24.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所：

类型

A规格

B规格

C规格



第一种钢板

1

2

1



第二种钢板

1

1

3



 每张钢板的面积：第一种为
,第二种为
。今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块．问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小?

25.数列
首项
，前项和
与
之间满足
.

⑴求证：数列
是等差数列；

(2)设存在正数
，使
对
都成立，求
的最大值.

麓山国际实验学校2013-2014-2学年高一第二次月考

数学试卷(参考答案)

一：选择题

CCDBC DCCAC CCABB

二：填空题

4 πR3

三：解答题

21. 证明　∵∠ACB＝90°，

∴BC⊥AC．

又SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，

∴SA⊥BC．

又SA∩AC＝A，

∴BC⊥平面SAC．

∵AD?平面SAC，

∴BC⊥AD．

又SC⊥AD，SC∩BC＝C，SC?平面SBC，BC?平面SBC，

∴AD⊥平面SBC．

22.解　(1)设M坐标为(x，y)，由题意得＝，整理得(x＋1)2＋y2＝4．

所以M点的轨迹方程为(x＋1)2＋y2＝4．

(2)因为曲线C：(x＋1)2＋y2＝4，

所以C关于直线2x＋y－4＝0对称的曲线C′是与C半径相同的圆，故只需求C′的圆心坐标即可，设C′的圆心坐标(x0，y0)．

由题意得，解得．

故曲线C′的方程为2＋2＝4．

23.解析:(Ⅰ)
=

=

∵

……4分

……6分

∵

(Ⅱ)在
中，
，
，

由正弦定理知：

=

24.解：设需截第一种钢板工张x张，第二种钢板y张，所用钢板面积为
，（1分）则有

作出可行域（如图） 目标函数为：
作出一组平行直线
（t为参数）．由
得
由于点
不是可行域内的整数点，而在可行域内的整数点中，点（4，8）和点（6，7）使z最小，且

答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，或第一种钢板6张，第二种钢板7张，得所需三种规格的钢板，且使所用的钢板的面积最小．

25.⑴因为
时，
得

由题意

又

是以
为首项，为公差的等差数列.

(2)设

则

在
上递增 故使
恒成立，只需
.

又
又

，所以，
的最大值是
.