2014—2015学年度上学期省五校协作体高一期中考试数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.已知集合M={0,1,2},N={x│x=2a,a∈M},则集合M∩N=( )

(A){0} (B){0,1} (C){1,2} (D){0,2}

2.若函数f(x)=ex(x≤0)的反函数为y=f (1(x),则函数y=f (1(2x─1)的定义域为( )

(A)(0,1] (B)((1,1] (C)((∞,] (D)(,1]

3.设函数f(x)=x2─2,用二分法求f(x)=0的一个近似解时,第1步确定了一个区间为(1,),

到第3步时,求得的近似解所在的区间应该是( )

(A)(1,) (B)(,) (C)(,) (D)(,)

4.已知集合A={y│y=，x∈R}，则满足A∩B=B的集合B可以是( )

(A){0，} (B) {x│00}

5.设f(x)=x3+log2(x+),若a,b(R,且 f(a)+f(b)≥0,则一定有( )

(A)a+b≤0 (B)a+b<0 (C)a+b≥0 (D)a+b>0

6.已知函数f(x)=，若a>0，b>0，c>0，a+b>c，则( )

(A)f(a)+f(b)>f(c) (B)f(a)+f(b)=f(c) (C)f(a)+f(b)

7.函数f(x)=lnx─3+x的零点为x1,g(x)=ex─3+x的零点为x2,则x1+x2等于( )

(A)2 (B)3 (C)6 (D)1

8.已知f(x)=log2x+2,x([1,4],则函数F(x)=[f(x)]2+f(x2)+3的最大值为( )

(A)13 (B)16 (C)25 (D)22

9.函数y=的图像大致为( )

10.设函数f(x)=,若关于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0恰有5个不同的实数

解x1，x2，x3，x4，x5,则f(x1+x2+x3+x4+x5)等于( )

(A)0 (B)2lg2 (C)3lg2 (D)1

11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x)+2f(2)，若函数y=f(x─1)的图象关于直

线x=1对称，且f(3)=2，则f(2015)等于( )

(A)2 (B)3 (C)4 (D)6

12.定义:区间[x1，x2](x11)的定义域为

[m，n](m

(A) (B)2 (C) (D)4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分。共20分。把答案填在题中的横线上

13.不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},那么a的值为______________.

14.若函数f(x)=x2+(a─2)x+1为偶函数，g(x)=为奇函数，则与的大小关系

是______________.

15.如果函数y=loga(8+2ax─x2)(其中a>0，且a≠1)在[─1，3]上是增函数,则a的取值范

围是______________.

16.已知函数f(x)=(x+1)2，若存在实数a，使得f(x+a)≤2x─4对任意的x∈[2,t]恒成立，

则实数t的最大值为_________________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。

17. (本题满分10分)

已知集合A={x│─3≤x─1≤4},B={x│m+1≤x≤2m─1}.

(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；

(2)若A∪B=A，求实数m的取值范围.

18.(本题满分12分)

市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下

规律:该商品的价格每上涨x%(x>0),销售量就减少kx%(其中k为正常数).目前,该

商品定价a元,统计其销售数量为b个.

(1)当k=时,该商品的价格上涨多少,就能使销售的总金额达到最大?

(2)在适当的涨价过程中,求使销售总金额不断增加时的k的取值范围.

19.(本题满分12分)

已知函数f(x)=x2─x+b,且f(loga)=b,logf(a)=2(a≠1).

(1)求f(logx)的最小值及对应的x值；

(2) x取何值时，f(logx)>f(1),且logf(x)

20.(本题满分12分)

设函数f(x)=loga(x─3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时,点

Q(x─2a,─y)是函数y=g(x)图象上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式;

(2)若当x∈[a+2,a+3]时,恒有│f(x)(g(x)│≤1,试确定a的取值范围.

21. (本题满分12分)

已知函数f(x)在(─1,1)上有定义,且f()=.对任意x，y∈(─1,1)都有f(x)+f(y)=f()，

当且仅当─10.

(1)判断f(x)在(─1，1)上的奇偶性，并说明理由;

(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由；

(3)试求f()─f()─f()的值.

22.(本题满分12分)

若函数f(x)的定义域和值域均为区间G，则称区间G为函数f(x)的“管控区间”.

(1)求函数f(x)=x2─2x形如[a,+∞)(a∈R)的“管控区间”；

(2)函数g(x)=│1─│(x>0)是否存在形如[a，b]的“管控区间”，若存在，求出实数

a、b的值，若不存在，请说明理由.

2014—2015学年度上学期省五校协作体高一期中考试

数学试题答案

一、选择题：

1—5 DDCBC 6—10 ABBDC 11—12 AD

二、填空题：

13.  14. < 15. [3，) 16. 4

三、解答题：

17. (本题满分10分)

解析：(1)当x∈Z时，A={─2，─1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，

∴A的非空真子集的个数为2─2=254.·························4分

(2)由A∪B=A，得B(A.①当B=(时，m+1>2m─1(m<2;······················6分

②当B≠(时，根据题意画出数轴，可得(2≤m≤3.·····················8分

综上，实数m的取值范围是（─∞，3].·····················10分

18.(本题满分12分)

解析：(1)当k=时,销售的总金额y=a(1+x%)(b(1(kx%)=((x%+1)(x%(2)

=((x%()+ab≤ab

答:该商品的价格上涨50%的时候,销售的总金额达到最大值ab元.··················6分

(2)y=a(1+x%)(b(1(kx%)=ab(1+x%)(1(kx%)=[kx2(100(k(1)x+10000](k>0)

据题意,就是使函数在(0,+∞)上单增，则≤0(0

答:使销售总金额不断增加时的k的取值范围是(0,1]. ··················12分

19.(本题满分12分)

解析：(1)∵f(x)=x2─x+b,∴f(loga)=(loga)2─loga+b=b((loga─1)·loga=0

∵a≠1,∴loga=1(a=2.又logf(a)=2(f(a)=4即a2─a+b=4,∴b=4─a2+a=2

∴f(x)=x2─x+2.······················4分

从而f(logx)=( logx)2─logx+2=( logx─)2+

∴当logx=,即x=时,f(logx)有最小值为.··························8分

(2)由题意得((0

20.(本题满分12分)

解析：(1)(g(x(2a)=(loga(x(3a) (令t=x(2a)

(g(t)=(loga(t(a)(g(x)=(loga(x(a) ················6分

(2)首先f(x)与g(x)的定义域的交集为(3a,+∞)

使[a+2,a+3]( (3a,+∞)(a+2>3a>0(0

这样|f(x)(g(x)|≤1(a≤x2(4ax+3a2≤

x∈[a+2,a+3]时, x2(4ax+3a2=(x(2a)2(a2∈[4(4a,9(6a]

所以(0

21. (本题满分12分)

解析：(1)证明:取x=y=0(f(0)=0,f((x)+f(x)=f(0)=0(f((x)=(f(x),又定义域对称,

故f(x)是((1,1)上的奇函数. ···············4分

(2)任取x1,x2((0,1),且0

∵00(1(x1x2>x2(x1>0(0<<1，∴─1<<0，∴f()>0，∴─f()<0，即f(x2)

故f(x)是(0,1)上的减函数. ···············8分

(3) f()─f()=f()+f(─)=f()=f()，∴f()─f()=f()=f().

而f()+f()=f()=f()(f()=2×f()=1,∴f()─f()─f()=1··············12分

22.(本题满分12分)

解析：(1)∵f(x)=x2─2x=(x─1)2─1,∴f(x)的值域为[─1,+∞).

故[─1,+∞)是函数f(x)的一个“管控区间”.

又函数f(x)的图象与y=x有一个交点(3,3),∴[3,+∞)也是函数f(x)的一个“管控区间”.

综上，函数f(x)有两个形如[a,+∞)的“管控区间”[─1,+∞)和[3,+∞)···········6分

(2)若存在实数a、b使得函数g(x)=│1─│(x>0)有形如[a，b]的“管控区间”，则a>0.

∵g(x)= │1─│=.

∴①当a,b∈(0,1)时,g(x)=─1在(0,1)上为减函数.

故((a=b，与a

②当a,b∈[1,+∞)时,g(x)= 1─在[1,+∞)上为增函数.

故((a,b是方程x2─x+1=0的根，但此方程无解.故此时不存在满足条件的实数a,b.

③当a∈(0,1)，b∈[1,+∞)时,由于1∈[a，b]，而g(1)=0,

故此时不存在满足条件的实数a,b.

综上，不存在满足条件的实数a、b. ·················12分