莱州一中2013级高三第四次质量检测

数学（文科）试题

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数z满足
（i为虚数单位），则z的共轭复数
为

A.
B.
C.
D.

2.已知集合
，集合
，则

A.M B.N

C.
D.

3.某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为

A.27 B.26 C.25 D.24

4.已知直线
经过点（1，2），则
的最小值为

A.
B.
C.4 D.

5.设
是两条不同的直线，
是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若
，则
； ②若
，则
；

③若
，则
； ④若
，则
；

其中真命题的个数为

A.1 B.2 C.3 D.4

6.已知命题
，使
；命题
，则下列判断正确的是

A.p为真 B.
为假 C.
为真 D.
为假

7.函数
的部分图象如图所示，则
的值为

A.
B.

C.
D.
,

8.已知
满足约束条件
则
的范围是

A.
B.
C.
D.

9.已知函数
，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a，b，则函数
处取得最值的概率是

A.
B.
C.
D.

10.已知抛物线
的三个顶点都在抛物线上，O为坐标原点，设
三条边AB,BC,AC的中点分别为M,N,Q，且M,N,Q的纵坐标分别为
.若直线AB,BC,AC的斜率之和为
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.

11.设
，则
_______.（其中e为自然对数的底数）

12.已知向量
，其中
，且
，则向量
的夹角是_______.

13.已知过点
的直线l被圆
截得的弦长为6，则直线l的方程为________.

14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如果是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为______.（参考数据：
）

15.已知函数
，若方程
有两个不同实根，则实数k的取值范围为_______.

三、解答题：本大题共6小题，共75分.

16.（本小题满分12分）

近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B户型每套面积80平方米，均价1.2万元/平方米.下表是这18套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）：

（I）求a,b的值；

（II）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率.

17. （本小题满分12分）

在
中，内角A,B,C的对边为a,b,c.已知
.

（I）求角C的值；

（II）若
，且
的面积为
，求
.

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥
的底面为正方形，侧面
底面ABCD，
，E,F,H分别为AB,PC,BC的中点.

（I）求证：EF//平面PAD；

（II）求证：平面
平面DEF.

19. （本小题满分12分）

已知数列
是公差不为零的等差数列，其前n项和为
.

满足
，且
恰为等比数列
的前三项.

（I）求数列
，
的通项公式；

（II）设
是数列
的前n项和.是否存在
，使得等式
成立，若存在，求出k的值；若不上存在，说明理由.

20. （本小题满分13分）

设椭圆
，定义椭圆C的“相关圆”方程为
.若抛物线
的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.

（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

（II）过“相关圆”E上任意一点P的直线
与椭圆C交于A,B两点.O为坐标原点，若
，证明原点O到直线AB的距离是定值，并求m的取值范围.

21. （本小题满分14分）

设函数
.已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直.

（I）求a的值；

（II）求函数
的极值点；

（III）若对于任意
，总存在
，使得

成立，求实数m的取值范围.

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