淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试 2016.04

数 学 （文）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则集合P的真子集的个数为（ ）

A．3 B．4 C．1 D．2

3．扇形的半径为3，中心角为
，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

4．将800个个体编号为
，然后利用系统抽样的方法从中抽取20个个体作为样本，则在编号为
的个体中应抽取的个体数为（ ）

A．10 B．9 C．8 D．7

5．“数列
成等比数列”是“数列
成等差数列”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．执行如下图所示的程序框图，则输出的
值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知函数
，则下面结论正确的是（ ）

A．函数
的最小正周期为

B．函数
是偶函数

C．函数
的图象关于直线
对称

D．函数
在区间
上是增函数

8．已知双曲线E：
的离心率
，则该双曲线的一条渐近线被圆C：
截得的弦长为（ ）

A．
B．
C．3 D．2

9．如右图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图，则原几何体的的体积为（ ）

A．
B．

C．
D．

10．已知函数
，若存在实数
，
，
，
，满足
，且
，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)

11．已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是，则a+b= ．

12．已知
在
处的切线经过点
，则
．

13．在△
中，
，
，
，且△
的面积为
，

则
=_______

14．已知方程
在
上有两个不相等的实数解,则实数
的取值范围是____________．

15．如图是导函数
的图象:

①
处导函数
有极大值；

②在
处导函数
有极小值；

③在
处函数
有极大值；

④在
处函数
有极小值;以上叙述正确的是____________。

三、解答题：（本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．已知函数
（
）的最小正周期为
．

（Ⅰ）求函数
的单调增区间；

（Ⅱ）将函数
的图象向左平移
个单位，再向上平移1个单位，得到函数
的图象；若
在
上至少含有10个零点，求b的最小值．

17．在如图所示三棱锥D—ABC中，
，
，
，∠BAC=45°，平面

平面
，
分别在
，且
，
．

（Ⅰ）求证：BC⊥AD；

（Ⅱ）求平面
将三棱锥
分成两部分的体积之比．

18．某网站针对“2015年春节放假安排”开展网上问卷调查，提出了A、B两种放假方案，调查结果如表（单位：万人）：

人群

 青少年

中年人

 老年人



 支持A方案

 200

 400

 800



 支持B方案

 100

 100

 n



已知从所有参与调查的人种任选1人是“老年人”的概率为
．

（Ⅰ）求n的值；

（Ⅱ）从参与调查的“老年人”中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求恰好有1人“支持B方案”的概率．

19．已知数列{
}的前n项和
．

（1）求数列{
}的通项公式；

（2）若
，且数列
的前n项和为
，求
．

20．已知函数f（x）=
+alnx（a≠0，a∈R）

（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．

21．已知椭圆C：2x2+3y2=6的左焦点为F，过F的直线l与C交于A、B两点．

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，求线段AB的长；

（Ⅲ）设线段AB的中点为P，O为坐标原点，直线OP交椭圆C交于M、N两点，是否存在直线l使得|NP|=3|PM|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试数学（文）参考答案

一．选择题。

1．D 2．C． 3．D 4．D． 5．B． 6．C 7．D 8．A 9．B 10．B

二．填空题。

11．
12．
13．
14．
15．①②③④

16.（Ⅰ）由题意得：

17．【解析】（Ⅰ）在Rt△ADC中，AD=DC=2，
，∴
=
，

在
中，∵∠BAC=45°，
=4，

∴
=
=
=8，

可得
，∴
．∴
．

取线段
的中点
，连接
，∵
，∴
．

又∵平面

平面
，平面
∩平面

，
平面
，

∴
平面
． ∴
，

∵
，∴
平面
，

∴
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
平面
，
，
．

∴
=
=
=
，

过
作
交
于
，∴
⊥平面
，

∵
，∴由三角形相似知，
=
=
，

∵
，∴
=
，

∴
=
=
，

∴
=
=
，

∴平面
将三棱锥
分成两部分的体积之比
:
=5:1．

18．解：（Ⅰ）∵利用层抽样的方法抽取n个人时，从“支持A方案”的人中抽取了6人，

∴
=
，解得n=400，

（Ⅱ）支持A方案的有
×6=4（人），分别记为1，2，3，4

支持B方案”的有
×6=2人，记为a，b 所有的基本事件有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，a），（1，b），（2，3），（2，4），（2，a），（2，b）（3，4），（3，a），（3，b）（4，a），（4，b），（a，b）共15种，

恰好有1人“支持B方案”事件有：（1，a），（1，b），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（4，a），（4，b），共8种． 故恰恰好有1人“支持B方案”的概率P=
．

19．【解析】（1）由于
，

所以当
时，
， 两式相减得
，

于是
， 所以
．

（2）由（1）得
，

所以
，因此

；

，

于是
．

20．解：（I）因为
，当a=1，
，

令f'（x）=0，得x=1，又f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），

f（x）随x的变化情况如下表：

x

（0，1）

1

（1，+∞）



f'（x）

﹣

0

+



f（x）

↘

极小值

↗



所以x=1时，f（x）的极小值为1．

f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；

（II）因为
，且a≠0，令f'（x）=0，得到
，

若在区间上存在一点x0，使得f（x0）＜0成立，

其充要条件是f（x）在区间上的最小值小于0即可．

（1）当a＜0时，f'（x）＜0对x∈（0，+∞）成立，

所以，f（x）在区间上单调递减，

故f（x）在区间上的最小值为
，

由
，得
，即

（2）当a＞0时，

①若
，则f'（x）≤0对x∈成立，所以f（x）在区间上单调递减，

所以，f（x）在区间上的最小值为
，

显然，f（x）在区间上的最小值小于0不成立

②若
，即1＞
时，则有

x









f'（x）

﹣

0

+



f（x）

↘

极小值

↗



所以f（x）在区间上的最小值为
，

由
，得1﹣lna＜0，解得a＞e，即a∈（e，+∞）舍去；

当0＜
＜1，即a＞1，即有f（x）在递增，可得f（1）取得最小值，且为1，f（1）＞0，不成立．综上，由（1）（2）可知a＜﹣
符合题意．

21．解：（Ⅰ）椭圆C：2x2+3y2=6，即为
+
=1，可得a=
，b=
，c=1，即有e=
=
；

（Ⅱ）当直线l与x轴垂直时，即为x=﹣1，

代入椭圆方程可得y2=
，解得y=±
，则线段AB的长为
；

（Ⅲ）由F（﹣1，0），设直线AB：x=my﹣1，代入椭圆方程，

可得（3+2m2）y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

可得y1+y2=
，即有中点P的坐标为（
，
），

直线OP：y=﹣
x，代入椭圆方程，可得x=±
，

可设xN=
，xM=﹣
，

假设存在直线l使得|NP|=3|PM|，即有
=3
，

即为
﹣
=3（﹣
﹣
），解得m=±
，

则存在直线l：x=±
y﹣1，使得|NP|=3|PM|．

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