高2013级高考适应性测试（A卷）

数学（理工类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一．选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．

1．已知集合
=
，
=
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

2．若
为虚数单位，则复数
=

(A)
(B)
(C)
(D)

3．命题
使得
则
为

(A)
都有
(B)
使得

(C)
都有
(D)
都有

4．执行如图所示的程序框图，输出的结果是

(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14

5．已知
，则
的值为

(A)
(B)
(C)
(D)

6．某机构邀请5位市民体验“刷卡支付”、“微信支付 ”、“支付宝支付 ”，每人限使用一种支付方式，每种支付方式都要有人选择，则不同的支付方式种数有

(A) 540 (B) 240 (C) 180 (D) 150

7．已知抛物线
与双曲线
的交点为
，且直线
过两曲线的公共焦点
，则双曲线的离心率为

(A)
　　　
　
　　

8．已知函数
，则函数
的大致图像为

(A) (B) (C) (D)

9． 设不等式组
表示的平面区域为
，点
，点
，在区域
内随机取一点
，则点
满足
的概率是

(A)
(B)
(C)
(D)

10．已知抛物线
的焦点为
，点
为直线
上的一动点，过点
向抛物线
作切线，切点为
，以点
为圆心的圆恰与直线
相切，则该圆面积的取值范围为

(A)
　　　 (B)　
　 (C) 　
　 　 (D)　

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．

二．填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．在
的展开式中含
项的系数为 ▲ ．

12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则该几何体的体积是 ▲ ．

13．某家庭用分期付款的方式购买一辆汽车，价格为15万元，购买当天先付5万元，以后每月这一天都交付1万元，并加付欠款的利息，月利率为1%．若交付5万元以后的第一个月开始算分期付款的第一期，共10期付完，则全部货款付清后，买这辆汽车实际用的钱为 ▲ 万元．

14．在矩形
错误！未找到引用源。中，
错误！未找到引用源。，
是
的中点，点错误！未找到引用源。在以错误！未找到引用源。为圆心，
为半径的圆弧
上变动（如图所示），若
错误！未找到引用源。 ，其中 错误！未找到引用源。，则
错误！未找到引用源。的最大值是 ▲ ．

15．中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆
的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：

①对于任意一个圆
，其“优美函数”有无数个；

②函数
可以是某个圆的“优美函数”；

③余弦函数
可以同时是无数个圆的“优美函数”；

④函数
是“优美函数”的充要条件为函数
的图像是中心对称图形．

其中正确的命题是 ▲ ．（写出所有正确命题的序号）

三．解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．

16．(本小题满分12分)

已知函数
的部分图像如图所示．

(I) 求函数
的解析式；

(II) 在
中，内角
的对边分别为
，

若
，求
的面积
．

17．(本小题满分12分)

甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏，规则如下：每轮游戏发50个红包，每个红包金额为
元，

．已知在每轮游戏中所产生的50个红包金额的频率分布直方图如图所示．

(I) 求
的值，并根据频率分布直方图，估计红包金额的众数；

(II) 以频率分布直方图中的频率作为概率，若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包，其中金额在
的红包个数为
，求
的分布列和期望．

18．(本小题满分12分)

已知数列{an}的首项
＝5，且an＋1＝2an＋1(
)．

(I) 证明：数列{an＋1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(II) 求数列{
}的前n项和
．

19．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AB＝AC＝2， O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．

(I) 证明：PB∥平面ACM；

(II) 若三棱锥
的体积为
，求平面MAC与平面PAB所成

锐二面角的余弦值．

20．(本小题满分13分)

已知椭圆
的上、下顶点分别为
，过点
的直线与椭圆交于另一点
，与直线
交于点
．

(I) 当
且点
为椭圆的右顶点时，求三角形
的面积
的值；

(II) 若直线
的斜率之积为
，求椭圆
的方程及
的

取值范围．

21．(本小题满分14分

已知函数
，
其中
．

(I) 求函数
的单调区间；

(II) 若对任意
不等式
恒成立，求
的取值范围．

 高2013级高考适应性测试（A卷）

数学（理工类）参考答案及评分标准

一.选择题:本题共10个小题,每小题5分,共50分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

C

C

B

D

B

A

 B

B



二.填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.

11.
； 12.
； 13. 15.55； 14.
； 15. ①②③.

三.解答题:本题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.不能答在试卷上,请答在答题卡相应的方框内.

16. 解：(I)由图像可知
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

又

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分

(II)

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分

在
中，由正弦定理

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分

﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分

17.解：(I)由题可得：
众数为
.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

(II)由频率分布直方图可得，红包金额在
的概率为
，则
， .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分

的取值为

的分布列为：








[















.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分

(或
).

.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分

18.解：(I)证明：∵an＋1＝2an＋1

∴an＋1＋1＝2(an＋1)，且
∴
＝2 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分

∴数列{an＋1}是以6为首项，2为公比的等比数列 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

∴an＋1＝(a1＋1)·2n－1＝6·2n－1＝3·2n

∴an＝3·2n－1. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分

(II)∵
=n(3·2n－1)

＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)

令Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n

∴2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×

∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·

＝
－n·
＝－(n－1)·
－2

∴Tn＝(n－1)·
＋2 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分

＝3(n－1)·
－
＋6. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分

19.解: (I) 证明：连接BD，MO，在菱形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，

又M为PD的中点，所以PB∥MO.

因为PB
平面ACM，MO?平面ACM，

所以PB∥平面ACM. ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分

(II) 由四边形ABCD为菱形知AC⊥BD, PO⊥平面ABCD，所以建立以O为坐标原点，

以OA,OB,OP分别为x轴、y轴、z轴的空间坐标系.

取线段
的中点
，连接
，则MN∥PO，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD

，所以 MN为三棱锥M-ACD的高.

四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD,AD=AB=2，AO=1

DO=
,
=

=
=
×
×MN=
，MN=
，即OP=1

AO=CO=1，BO=DO=
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分

A(1，0，0),B(0，
，0)，C(
，0，0)，P(0，0，1)，M(0，
，
)

(
，
，0)，
(
，0，1)，
(1，
，
)

(
，
，
)

设平面PAB和平面MAC的法向量分别为
（x，y，1）,
(x，y，1)

解得x=1，y=
,

（1，
，1）