高2013级高三第二次诊断性测试

数　学（理工类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷2至4页.考生作答时,须在答题卡上作答,在本试卷、草稿纸上作答无效.满分150分,考试时间120分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一.选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的).

1．设集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
(D)

2．在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3. 执行如图所示的程序框图，若输入
的值为
，则输出
的值是

（A）
　 （B）
　　　 （C）
　　 （D）

4. 已知直线
过双曲线

的焦点，且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的标准方程为　　　　　　　　　　　　　

(A)
(B)
(C)
(D)

５. 用数字
可以组成没有重复数字，并且比
大的五位奇数共有

（A）
个 　 （B）
个 （C）
个 （D）
个

６. 已知函数
是定义在
上的奇函数．当
时，
(
为常数)．则
成立的一个充分不必要条件是　　　

（A）
（B）
　　 （C）
　（D）

７. 设实数
，
满足约束条件
，已知
的最大值是
，最小值是
，则实数
的值为

(A)
(B)
(C)
(D)

8. 如图，在
中，
,
,
,则

＝

（A）
（B）
　（C）
（D）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

9. 已知函数
，其中
．若对于任意的
，　　　　（８题图）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

不等式
在
上恒成立，则
的取值范围是

（A）
（B）
　　　（C）
（D）

10. 设动直线
：
（其中
为整数）与椭圆
交于不同两点
，与双曲线
交于不同两点
，且
，则符合上述条件的直线
共有

（A）
条 　　 　　（B）
条 　 　　　（C）
条 　　　 （D）
条

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.

二.填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．

11. 设
．则
.

12. 已知

，


则
=________.

13. 在
中，
，点
是平面
外一点，且
，若点
到直线
、
的距离都等于
，则
与平面
所成角的大小为 .

14. 以一年为一个调查期，在调查某商品出厂价格及销售价格时发现：每件商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦型函数曲线波动，已知
月份出厂价格最高为
元，
月份出厂价格最低为
元，而每件商品的销售价格是在
元基础上同样按月份随正弦型函数曲线波动，且
月份销售价格最高为
元，
月份销售价格最低为
元，假设某商店每月购进这种商品
件，且当月售完，则该商店的月毛利润的最大值

为 元.

15. 若存在实数
和正实数
，使得函数
满足
，(常数
)．则称函数
为“
倍函数”．则下列四个函数

①
　 ②

③
　　 　　 ④

其中为“
倍函数”的有 （填出所有正确结论的番号）

三.解答题：(本大题共6个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚)．

16．（本小题满分12分）

若等比数列
的各项均为正数，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式；（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
．

17．（本小题满分12分）

已知向量
，
，若函数
的相邻两对称轴间的距离等于
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在
中,
分别是角
所对的边，且
，
，
.求

的面积.

18．（本小题满分12分）

为提高市民的遵纪守法意识，某市电视台举行法律知识竞赛，比赛规则是：由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正
分，否则记负
分．假设某参赛选手能答对每一个问题的概率均为
；记“该选手在回答完
个问题后的总得分为
”．

（Ⅰ）求
且
的概率；

（Ⅱ）记
,求
的分布列和数学期望
．

19．（本小题满分12分）

如图，已知正四棱柱
中，底面边长
，侧棱
的长为4，过点
作
的的垂线交侧棱
于点
，交
于点
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求
与平面
所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆
：
的离心率为
，以椭圆
的左顶点
为圆心作圆
：
，设圆
与椭圆
交于点
、
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）求
的最小值，并求此时圆
的方程；

　（Ⅲ）设点
是椭圆
上异于
、
的任意一点，

且直线
，
分别与
轴交于点
(
为坐标原点),

求证：
为定值．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20题图)

21．（本小题满分14分）

已知函数
．(
为常数)

（Ⅰ）当
时,求函数
的零点个数 ；

（Ⅱ）是否存在正实数
，使得对任意
，都有
，若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由.

高2013级高三第二次诊断性测试

数 学（理工农医类）答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

B

D

A

B

C

C

D

D

A

C



二、填空题

11.15 12.
13.
14.
15.①④

三、解答题

16. 解：

（Ⅰ）设等比数列公比为为
,因各项为正,有
　　 …1分

由

(
) . …6分

（Ⅱ）

…9分

的前
项和

. …12分

17. 解：（Ⅰ）

　…………4分

　　　　　　　　　　　　

　　　
.　　　　　　　　　　…………5分

（Ⅱ）

又

而

　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　…………８分

由余弦定理知

[

联立解得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………1０分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………1２分

[另法：用配方法　

].

18. 解：(1)当
时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个.若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个.记回答每个问题正确的概率为
，则
，回答每个问题错误的概率为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………3分

故所求概率为：
……………6分

(2) 由
可知X的取值为
10，30，50.

可有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………9分

故
的分布列为：　

　

10

30

50














　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………12分

19. 解