高2013级高三第二次诊断性测试

数 学（文史类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑．

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1．设集合
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

2．在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

3．
年
月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取
名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为
，
，
，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为

(A)
(B)
(C)
(D)

4．下列函数中，最小正周期为
且图象关于
轴对称的函数是

(A)
(B)

(C)
(D)

5．执行如图所示的程序框图，若输入
的值为
，则输出
的值是

(A) －1　 (B) 1　　　 (C) 2　　 (D) 

6．已知函数
，
（其中
且
），若
，则
，
在同一坐标系内的大致图象是

?

(A) (B) (C) (D)

7．已知直线
过双曲线
的焦点且与该双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的方程为

(A)
(B)
(C)
(D)

8．设
，则对任意实数
，
，“
”是“
”的

(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

9．设实数
，
满足约束条件
，已知
的最大值是
，最小值是
，则实数
的值为

(A)
(B)
(C)
(D)

10.已知抛物线
的焦点为
，它的准线与对称轴的交点为
过点
的直线与抛物线
交于
两点，过点
作直线
与抛物线
交于另一点
，过点
的圆的圆心坐标为
，半径为
，则下列各式成立的是

(A)
(B)
(C)
(D)

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．计算：
= .

12．已知等腰三角形
的底边
的长为
，则
.

13．已知

，
，
,则
=________.

14．某三棱锥的正视图，侧视图，俯视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 .

15．若存在实数
和正实数
，使得函数
满足
，则称函数
为“可翻倍函数”，则下列四个函数

①
； ②
；

③
； ④
.

其中为“可翻倍函数”的有 （填出所有正确结论的番号）.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内.

16．(本小题满分12分)

已知等比数列
的各项均为正数，且
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和
.

17．(本小题满分12分)

某人设置一种游戏，其规则是掷一枚均匀的硬币
次为一局，每次掷到正面时赋值为
，掷到反面时赋值为
，将每一局所掷
次赋值的结果用
表示，其中
分别表示掷第一、第二、第三、第四次的赋值，并规定每局中“正面次数多于反面次数时获奖”.

（Ⅰ）写出每局所有可能的赋值结果；

（Ⅱ）求每局获奖的概率；

（Ⅲ）求每局结果满足条件“
”的概率.

18．（本小题满分12分）

在
中，内角
所对的边分别为
，若
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）已知向量

,

,若
与
共线，求
.

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面
是边长为
的正方形，侧棱
底面
，且侧棱
的长是
，点
分别是
的中点.

（Ⅰ）证明：

平面
；

（Ⅱ）证明:
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积.

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
：
的离心率等于
，椭圆
上的点到它的中心的距离的最小值为
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）过点
作关于
轴对称的两条直线分别与椭圆
相交，
轴左边的交点由上到下依次为
，
轴右边的交点由上到下依次为
，求证：直线
过定点，并求出定点坐标.

21．(本小题满分14分)

已知函数
.（其中
为自然对数的底数）.

（Ⅰ）若曲线
过点
，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）若
在
上恒成立，求
的取值范围；

（Ⅲ）若
的两个零点为
，且
，求
的值域.

高2013级高三第二次诊断性测试

数学(文史类)参考答案

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

D

C

B

A

C

B

C

D

D



二、填空题

11.
12.
13.
14.
15. ①④

三、解答题

16.解：（Ⅰ）设等比数列公比为为
,因各项为正,有
…………………….…（1分）

由
……………………………….…（5分）

(
) …………………………………………….…. …（6分）

（Ⅱ）

…………………………………………………...（9分）

………………………………………….…（10分）

的前
项和

…（12分）

17.解：（Ⅰ）每局所有可能的赋值结果为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
……………………………..…（4分）

（Ⅱ）设每局获奖的事件为
，以（Ⅰ）中结果为基本事件，
所含的基本事件有5个，

每局获奖的概率

………………………………………..………（8分）

（III）设满足条件“
”的事件为
，由（Ⅰ）知
所含的的基本事件有
个，

=
…………………………………………..…..（12分）

法2：

所掷
次中至多
次正面向上，为（Ⅱ）中
的对立事件
，

18.解: （Ⅰ）

………………………………………..(3分)

由余弦定理知：

………………..…(5分)

…………………………….(6分)

（Ⅱ）

与
共线

……………………………...(7分)

由正弦定理知：
…………….………...(8分)

又
在
中，

……………………………………..(10分)

即