北京市西城区2016届高三下学期第一次模拟考试

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. 设集合
，集合
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 设命题p：
，则p为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 如果
是定义在
上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m表示. 若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m的可能取值集合为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

5. 在平面直角坐标系
中，向量
＝(1, 2)，
＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

6. 执行如图所示的程序框图，若输入的
分别为0, 1，则输出的
（ ）

（A）4 （B）16 （C）27 （D）36

7. 设函数
，则“
”是 “函数
在
上存在零点”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ）

（A）最多可以购买4份一等奖奖品

（B）最多可以购买16份二等奖奖品

（C）购买奖品至少要花费100元

（D）共有20种不同的购买奖品方案

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 在复平面内，复数
与
对应的点关于虚轴对称，且
，则
____.

10．在△ABC中，
，
，
，则
_____.

11．若圆
与双曲线C：
的渐近线相切，则
_____；双曲线C的渐近线方程是____.

12．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____.

13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：

房间A

房间B

房间C



 35 m2

20 m2

28 m2ZxxkCom



涂料1

涂料2

涂料3



 16元/ m2

18元/ m2

20元/ m2





那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.

14. 设函数
则
____；若
，
，则
的大小关系是______.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

设函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在
上的最大值与最小值.

16．（本小题满分13分）

已知等差数列
的公差
，
，
.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，记数列
前n项的乘积为
，求
的最大值.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱
中，
底面
，
，
，
.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）若
，判断直线
与平面
是否垂直？并说明理由.

18．（本小题满分13分）

某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.

（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；

（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在
和
的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在
的概率；

（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为
，且分别在
，
，
三组中，其中
．当数据
的方差
最大时，写出
的值.（结论不要求证明）

（注：
，其中
为数据
的平均数）

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
：
的长轴长为
，
为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率；

（Ⅱ） 设动直线
与y轴相交于点
，点
关于直线
的对称点
在椭圆
上，求
的最小值.

20．（本小题满分13分）

已知函数
，且
.

（Ⅰ）求
的解析式；

（Ⅱ）若对于任意
，都有
，求
的最小值；

（Ⅲ）证明：函数
的图象在直线
的下方.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．B 2．A 3．B 4． C

5．B 6．D 7．A 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11.

12．

13．1464 14．

注：第11，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为

……………… 4分

. ……………… 6分

所以函数
的最小正周期为
. ……………… 7分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得
. ……………… 8分

因为
，

所以
，

所以
.

所以
. ……………… 11分

且当
时，
取到最大值
；

当
时，
取到最小值
. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）（Ⅰ）解：由题意，得
……………… 3分

解得
或
（舍）. ……………… 5分

所以
． ……………… 7分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得
.

所以
.

所以只需求出
的最大值. ……………… 9分

由（Ⅰ），得
.

因为
， ……………… 11分

所以当
，或
时，
取到最大值
.

所以
的最大值为
. ……………… 13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………… 2分

因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
.

又因为
，

所以平面
平面
. ………… 3分

又因为
平面
，

所以
平面
. ……………… 4分

（Ⅱ）证明：因为
底面
,
底面
，

所以
. ……………… 5分

又因为
,
,

所以
平面
. ……………… 7分

又因为
底面
，

所以
. ……………… 9分

（Ⅲ）结论：直线
与平面
不垂直. ……………… 10分

证明：假设
平面
，

由
平面
，得
. ……………… 11分

由棱柱
中，
底面
，

可得
，
，

又因为
，

所以
平面
，

所以
. ……………… 12分

又因为
，

所以
平面
，

所以
. ……………… 13分

这与四边形
为矩形，且
矛盾，

故直线
与平面
不垂直. ……………… 14分

18．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有
人，………………2分

所以该校高一年级学生中， “体育良好”的学生人数大约有
人. ……4分

（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在
”为事件
， ………………5分