2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）

数学文

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第I卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）设集合
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

考点：集合的运算

（2）若复数
，其中i为虚数单位，则
=

（A）1+i （B）1?i （C）?1+i （D）?1?i

【答案】B

【解析】

试题分析：
，选B.[:.]

考点：1.复数的运算；2.复数的概念.

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)， [20，22.5)， [22.5,25)，[25，27.5)，[27.5，30).根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

（A）56 （B）60 （C）120 （D）140

【答案】D

考点：频率分布直方图

（4）若变量x，y满足
则x2+y2的最大值是

（A）4（B）9（C）10（D）12

【答案】C

【解析】

试题分析：画出可行域如图所示，点A（3，-1）到原点距离最大，所以

，选C.

考点：简单线性规划

（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：

由已知，半球的直径为
，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为
，选C.

考点：1.三视图；2.几何体的体积.

（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，
内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面
相交”的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】A

考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系.

（7）已知圆M：
截直线
所得线段的长度是
，则圆M与圆N：
的位置关系是

（A）内切（B）相交（C）外切（D）相离

【答案】B

【解析】

试题分析：

由
（
）得
（
），所以圆
的圆心为
，半径为
，因为圆
截直线
所得线段的长度是
，所以
，解得
，圆
的圆心为
，半径为
，所以
，
，
，因为
，所以圆
与圆
相交，故选B．

考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.

（8）
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
,则A=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

考点：余弦定理

(9) 已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)= —f(x)；当x＞
时，f(x+
)=f(x—
).则f(6)=

（A）-2 （B）-1

（C）0 （D）2

【答案】D

【解析】

试题分析：当
时，
，所以当
时，函数
是周期为
的周期函数，所以
，又因为当
时，
，所以
，故选D.

考点：1.函数的周期性；2.分段函数.

（10）若函数
的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称
具有T性质.下列函数中具有T性质的是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：当
时，
，
，所以在函数
图象存在两点
使条件成立，故A正确；函数
的导数值均非负，不符合题意，故选A.

考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）执行右边的程序框图，若输入n的值为3，则输出的S的值为_______．

【答案】

.

考点：程序框图

（12）观察下列等式：

；

；

；

；

……

照此规律，
_________．

【答案】

考点：合情推理与演绎推理

（13）已知向量a=(1,–1)，b=(6,–4)．若a⊥(ta+b)，则实数t的值为________．

【答案】

【解析】

试题分析：

，解得

考点：平面向量的数量积

（14）已知双曲线E：
–
=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．

【答案】

【解析】

试题分析：

依题意，不妨设
作出图像如下图所示

则
故离心率

考点：双曲线的几何性质

（15）已知函数f(x)=
其中m>0．若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

试题分析：

画出函数图像如下图所示：

由图所示，要
有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即
，解得

考点：函数的图像与性质，数形结合，分段函数

三、解答题：本大题共6小题，共75分

（16）（本小题满分12分）

某儿童乐园在“六一”儿童节退出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若
，则奖励玩具一个；

②若
，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶.

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.

（I）求小亮获得玩具的概率；

（II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.

【答案】（
）
.（
）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

试题解析：用数对
表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间
与点集
一一对应.因为
中元素个数是
所以基本事件总数为

（
）记“
”为事件
.

则事件
包含的基本事件共有
个，即

所以，
即小亮获得玩具的概率为
.

（
）记“
”为事件
，“
”为事件
.

则事件
包含的基本事件共有
个，即

所以，

则事件
包含的基本事件共有
个，即

所以，

因为

所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

考点：古典概型

（17）（本小题满分12分）

设
.

（I）求
得单调递增区间；

（II）把
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，求
的值.

【答案】（
）
的单调递增区间是
（或
）

（
）

由
得

所以，
的单调递增区间是

（或
）

考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数的图象和性质.[:.]

（18）（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

（I）已知AB=BC，AE=EC.求证：AC⊥FB；

（II）已知G,H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.

【答案】（Ⅰ））证明：见解析；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ））根据
，知
与
确定一个平面，连接
，得到
，
，从而
平面
，证得
.

考点：1.平行关系；2.垂直关系.

（19）（本小题满分12分）

已知数列
的前n项和
，
是等差数列，且
.

（I）求数列
的通项公式；

（II）令
.求数列
的前n项和
.

【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意得
，解得
，得到
。

考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列的求和；3.“错位相减法”.

(20) (本小题满分13分)

设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

【答案】(Ⅰ)当
时，函数
单调递增区间为
；

当
时，函数
单调递增区间为
，单调递减区间为
.

(Ⅱ)
.

【解析】

试题分析：(Ⅰ)求导数

可得
，

从而
，

讨论当
时，当
时的两种情况即得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
.分以下情况讨论：①当
时，②当
时，③当
时，④当
时，综合即得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
.

①当
时，
，
单调递减.

所以当
时，
，
单调递减.

当
时，
，
单调递增.

所以
在x=1处取得极小值，不合题意.

②当
时，
，由(Ⅰ)知
在
内单调递增，

考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.

(21) (本小题满分14分)

已知椭圆C:
（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2
.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明
为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

【答案】(Ⅰ)
.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为
.

应用一元二次方程根与系数的关系得到
，

，

得到

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知
，

所以
，

所以椭圆C的方程为
.

(Ⅱ)(i)设
，

由M(0,m)，可得

所以 直线PM的斜率
，

直线QM的斜率
.

此时
，

所以
为定值-3.

所以
，

，

所以

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.

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