2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（文史类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页.

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分

参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么 ·如果事件 A，B 相互独立，

P(A∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh， 圆锥的体积公式V =
Sh

其中 S 表示柱体的底面积其中 其中S表示锥体的底面积，h表示圆锥的高．

h 表示棱柱的高．

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合
，
，则
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：
,选A.

考点：集合运算

（2）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是
，甲获胜的概率是
，则甲不输的概率为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

考点：概率

（3）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）

【答案】B

【解析】

试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方顶点，故选B

考点：三视图

（4）已知双曲线
的焦距为
，且双曲线的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线的方程为（ ）

（A）
（B）

（C）
（D）

【答案】A

考点：双曲线渐近线

（5）设
，
，则“
”是“
”的（ ）

（A）充要条件 （B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：
,所以充分性不成立；
，必要性成立，故选C

考点：充要关系

（6）已知
是定义在
上的偶函数，且在区间
上单调递增，若实数
满足
，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意得
，故选C

考点：利用函数性质解不等式

（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点
分别是边
的中点，连接
并延长到点
，使得
，则
的值为（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】

试题分析：设
，
，∴
，
，

，∴
，故选B.

考点：向量数量积

（8）已知函数
，
.若
在区间
内没有零点，则
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

考点：解简单三角方程

第Ⅱ卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）i是虚数单位，复数
满足
，则
的实部为_______.

【答案】1

【解析】

试题分析：
，所以
的实部为1

考点：复数概念

（10）已知函数
为
的导函数，则
的值为__________.

【答案】3

【解析】

试题分析：

考点：导数

（11）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出
的值为_______.

【答案】4

考点：循环结构流程图

（12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点
在圆C上，且圆心到直线
的距离为
，则圆C的方程为__________.

【答案】

【解析】

试题分析：设
，则
，故圆C的方程为

考点：直线与圆位置关系

（13）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

【答案】

考点：相交弦定理

(14) 已知函数
在R上单调递减，且关于x的方程
恰有两个不相等的实数解，则
的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

试题分析：由函数
在R上单调递减得
，又方程
恰有两个不相等的实数解，所以
，因此
的取值范围是

考点：函数综合

三、解答题：本大题共6小题，共80分.

（15）（本小题满分13分）

在
中，内角
所对应的边分别为a,b,c，已知
.

(Ⅰ)求B；

(Ⅱ)若
，求sinC的值.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）

考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理

(16) (本小题满分13分)

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）生产甲种肥料
车皮，乙种肥料
车皮时利润最大，且最大利润为
万元

试题解析：（Ⅰ）解：由已知
满足的数学关系式为
，该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.

考点：线性规划

(17) (本小题满分13分)

如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=
，DE=3，∠BAD=60o，G为BC的中点.

(Ⅰ)求证：FG||平面BED；

(Ⅱ)求证：平面BED⊥平面AED；

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

（Ⅱ）证明：在
中，
，由余弦定理可
，进而可得
，即
，又因为平面
平面
平面
；平面
平面
，所以
平面
.又因为
平面
，所以平面
平面
.

（Ⅲ）解：因为
，所以直线
与平面
所成角即为直线
与平面
所成角.过点
作
于点
，连接
，又因为平面
平面
，由（Ⅱ）知
平面
，所以直线
与平面
所成角即为
.在
中，
，由余弦定理可得
，所以
，因此
，在
中，
，所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.

考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角

(18) (本小题满分13分)

已知
是等比数列，前n项和为
，且
.

(Ⅰ)求
的通项公式；

(Ⅱ)若对任意的
是
和
的等差中项，求数列
的前2n项和.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅱ）解：由题意得
，即数列
是首项为
，公差为
的等差数列.

设数列
的前
项和为
，则

考点：等差数列、等比数列及其前
项和

（19）（本小题满分14分）

设椭圆
（
）的右焦点为
，右顶点为
，已知
，其中
为原点，
为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点
的直线
与椭圆交于点
（
不在
轴上），垂直于
的直线与
交于点
，与
轴交于点
，若
，且
，求直线的
斜率.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）

（2）设直线的斜率为
，则直线
的方程为
，

设
，由方程组
消去
，

整理得
，解得
或
，

由题意得
，从而
，

由（1）知
，设
，有
，
，

考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

（20）（本小题满分14分）

设函数
，
，其中

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若
存在极值点
，且
，其中
，求证：
；

（Ⅲ）设
，函数
，求证：
在区间
上的最大值不小于
.

【答案】（Ⅰ）递减区间为
，递增区间为
，
.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：
，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当
时，有
恒成立，所以
的单调增区间为
.②当
时，存在三个单调区间
试题解析：（1）解：由
，可得
，下面分两种情况讨论：

①当
时，有
恒成立，所以
的单调增区间为
.

②当
时，令
，解得
或
.

当
变化时，
、
的变化情况如下表：





















0







单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增





所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，
.

（2）证明：因为
存在极值点，所以由（1）知
且
.

由题意得
，即
，

进而
，

又
，且
，

由题意及（1）知，存在唯一实数
满足
，且
，因此
，

所以
.

（3）证明：设
在区间
上的最大值为
，
表示