2016年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学文

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设i为虚数单位，则复数(1+i)2=

(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2+2i

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，
，故选C.

考点：复数的运算.

2. 设集合A={x11≤x≤5},Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是

(A)6 (B) 5 (C)4 (D)3

【答案】B

考点：集合中交集的运算.

3. 抛物线y2=4x的焦点坐标是

(A)(0,2) (B) (0,1) (C) (2,0) (D) (1,0)

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意，
的焦点坐标为
，故选D.

考点：抛物线的定义.

4. 为了得到函数y=sin
的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点

(A)向左平行移动
个单位长度 (B) 向右平行移动
个单位长度

(C) 向上平行移动
个单位长度 (D) 向下平行移动
个单位长度

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意，为得到函数
，只需把函数
的图像上所有点向左移
个单位，故选A.

考点：三角函数图像的平移.

5. 设p:实数x，y满足x>1且y>1，q: 实数x，y满足x+y>2，则p是q的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意，
且
，则
，而当
时不能得出，
且
.故
是
的充分不必要条件，选A.

考点：充分必要条件.

6. 已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=

(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2

【答案】D

考点：函数导数与极值.

7. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是

(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)

(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年

【答案】B

【解析】

试题分析：设从2015年后第
年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得
，两边取常用对数得

，故选B.

考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.

8. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为

(A)35 (B) 20 (C)18 (D)9

【答案】C

考点：1.程序与框图；2.秦九韶算法；3.中国古代数学史. ?

9. 已知正三角形ABC的边长为
，平面ABC内的动点P，M满足
，则
的最大值是

(A)
(B)
(C)
(D)

【答案】B

考点：1.向量的数量积运算；2.向量的夹角；3.解析几何中与圆有关的最值问题.

10. 设直线l1，l2分别是函数f(x)=
图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B则则△PAB的面积的取值范围是

(A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

【答案】A

【解析】

试题分析：设
（不妨设
），则由导数的几何意义易得切线
的斜率分别为
由已知得
切线
的方程分别为
，切线
的方程为
，即
。分别令
得
又
与
的交点为
，故选A。

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.

= 。

【答案】

【解析】

试题分析：由三角函数诱导公式
.

考点：三角函数诱导公式

已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 。

【答案】

考点：1.三视图；2.几何体的体积.

从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a、b，则
为整数的概率= 。

【答案】

【解析】

试题分析：从2，3，8，9中任取两个数记为
，作为作为对数的底数与真数，共有
个不同的基本事件，其中为整数的只有
两个基本事件，所以其概率
.

考点：古典概型.

若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0

【答案】-2

【解析】

试题分析：因为函数
是定义在
上周期为2的奇函数，所以

，所以
，即
，
，所以
.

考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性.

在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（
，
），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：

?若点A的“伴随点”是点
，则点
的“伴随点”是点A.

?单元圆上的“伴随点”还在单位圆上。

?若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称

④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线。

其中的真命题是 。

【答案】②③

考点：1.新定义问题；2.曲线与方程.

16、（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5）， [0.5,1），……[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图。

（I）求直方图中的a值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；

（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数。

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.04．

考点：频率分布直方图、频率、频数的计算公式

17、（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=?AD。

（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（II）证明：平面PAB⊥平面PBD。

【答案】（1）取棱AD的中点M，证明详见解析；（2）证明详见解析.

【解析】

试题分析：本题考查线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，先由线面垂直得到线线垂直，在利用线面垂直的性质得到BD⊥平面PAB，最后利用面面垂直的判定定理证明面面垂直.

试题解析：

考点：线面平行、线线平行、线线垂直、线面垂直.

18、（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
。

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（II）若
，求tanB。

【答案】（1）证明详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.第一问，利用正弦定理，将边角进行转化，结合诱导公式进行证明；第二问，利用余弦定理解出cos A=
，再根据平方关系解出sinA，代入已知中，解出tanB的值.

试题解析：（Ⅰ）根据正弦定理，可设

则a=ksin A，b=ksin B，c=ksinC.

代入
中，有

，可变形得

sin A sin B=sin Acos B=sin (A+B).

在△ABC中，由A+B+C=π，有sin (A+B)=sin (π–C)=sin C，

所以sin A sin B=sin C.

（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=
bc，根据余弦定理，有

.

所以sin A=
.

由（Ⅰ），sin Asin B=sin Acos B +cos Asin B，

所以
sin B=
cos B+
sin B，

故tan B=
=4.

考点：正弦定理、余弦定理、商数关系

19、（本小题满分12分）

已知数列{an}的首项为1， Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=Sn+1，其中q﹥0，n∈N+

(Ⅰ)若a2，a3，a2+ a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+ e22+…+en2，

【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.

试题解析：（Ⅰ）由已知，
两式相减得到
.

又由
得到
，故
对所有
都成立.

所以，数列
是首项为1，公比为q的等比数列.

从而
.

由
成等差数列，可得
，所以
，故
.

所以
.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
.

所以双曲线
的离心率
.

由
解得
.所以，

，

考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式

20、（本小题满分13分）

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

【答案】（1）
；（2）证明详见解析.

考点：椭圆的标准方程及其几何性质.

21、（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

【答案】（1）当

时，
<0，
单调递减；当

时，
>0，
单调递增；（2）证明详见解析；（3）

.

（II）令
=
，则
=
.

当
时，
>0，所以
，从而
=
>0.

（iii）由（II），当
时，
>0.

当
，
时，
=
.

故当
>
在区间
内恒成立时，必有
.

当
时，
>1.

由（I）有
,从而
，

所以此时
>
在区间
内不恒成立.

当
时，令
=

(
).

当
时，
=

.

因此
在区间
单调递增.

又因为
=0，所以当
时，
=

>0，即
>
恒成立.

综上，

.

考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题

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