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2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷）

数学文

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）（1）已知集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

考点： 集合交集

（2）复数

（A）i（B）1+i（C）
（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：
，故选A.

考点：复数运算

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）8

（B）9

（C）27

（D）36

【答案】B

考点： 程序框图

（4）下列函数中，在区间
上为减函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】

试题分析：由
在
上单调递减可知D符合题意，故选D.

考点：函数单调性

（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为

（A）1 （B）2 （C）
（D）2

【答案】C

【解析】

试题分析：圆心坐标为
，由点到直线的距离公式可知
，故选C.

考点：直线与圆的位置关系

（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】

试题分析：所求概率为
，故选B.

考点： 古典概型

（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x?y的最大值为

（A）?1 （B）3 （C）7 （D）8

【答案】C

考点： 函数最值

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



立定跳远（单位：米）

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60



30秒跳绳（单位：次）

63

a

75

60

63

72

70

a?1

b

65



在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

（A）2号学生进入30秒跳绳决赛 （B）5号学生进入30秒跳绳决赛

（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 （D）9号学生进入30秒跳绳决赛

【答案】B

【解析】

试题分析：将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，

此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为1-8的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B.

考点：统计

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知向量
，则a与b夹角的大小为_________.

【答案】

考点： 向量数量积与夹角公式,数形结合

（10）函数
的最大值为_________.

【答案】2

【解析】

试题分析：
，即最大值为2.

考点：函数最值,数形结合

（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

【答案】

【解析】

试题分析：四棱柱高为1，底面为等腰梯形，面积为
，因此体积为

考点：三视图

(12) 已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
,0），则a=_______；b=_____________.

【答案】

考点：双曲线的基本概念

(13)在△ABC中，
，a=
c，则
=_________.

【答案】1

【解析】

试题分析：由正弦定理知
，所以
，则
，所以

，所以
，即
．

考点：解三角形

(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；

②这三天售出的商品最少有_______种.

【答案】①16；②29

【解析】

试题分析：①由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19-3=16种商品第二天未售出；答案为

16．

②同①第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29．分别用
表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形．故答案为29．

考点： 统计分析

三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn= an+ bn，求数列{cn}的前n项和.

【答案】（Ⅰ）
（
，
，
，）；（Ⅱ）

（II）由（I）知，
，
．

因此
．

从而数列
的前
项和

．

考点：等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.

（16）（本小题13分）

已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
（
）．

函数
的单调递增区间为
（
）．

由
，

得
．

所以
的单调递增区间为
（
）．

考点：两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.

（17）（本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元.

所以该月用水量不超过
立方米的居民占
%，用水量不超过
立方米的居民占
%．

依题意，
至少定为
．

（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：

组号

1

2

3

4

5

6

7

8



分组



















频率



















根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：

（元）．

考点：频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，

（I）求证：
；

（II）求证：
；

（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得
平面
?说明理由.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（III）存在.理由见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（III）取
中点
，连结
，则
，根据线面平行定理则
平面
.

试题解析：（I）因为
平面
，

所以
．

又因为
，

所以
平面
．

考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力

（19）（本小题14分）

已知椭圆C：
过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

【答案】（Ⅰ）
；
（Ⅱ）见解析.

（II）设
（
，
），则
．

又
，
，所以，

直线
的方程为
．

令
，得
，从而
．

直线
的方程为
．

令
，得
，从而
．

所以四边形
的面积

[:]

．

从而四边形
的面积为定值．

考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.

（20）（本小题13分）

设函数

（I）求曲线
在点
处的切线方程；

（II）设
，若函数
有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：
是
有三个不同零点的必要而不充分条件.

【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）
;（III）见解析.

与
在区间
上的情况如下：









































所以，当
且
时，存在
，
，

，使得
．

由
的单调性知，当且仅当
时，函数
有三个不同零点．

考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点

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