2016年高考上海数学试卷（文史类）

考生注意：

1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.

2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.

一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．设
，则不等式
的解集为_______.

2．设
，其中
为虚数单位，则
的虚部等于______.

3．已知平行直线
，
，则
与
的距离是_____.

4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）.

5．若函数
的最大值为5，则常数
______.

6．已知点（3,9）在函数
的图像上，则
的反函数
=______.

7．若
满足
则
的最大值为_______.

8．方程
在区间
上的解为_____.

9．在
的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____.

10．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____.

11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.

12.如图，已知点O(0,0),A(1.0),B(0,?1),P是曲线
上一个动点，则
的取值范围是 .

13.设a>0,b>0. 若关于x,y的方程组
无解，则
的取值范围是 .

14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的
，
则k的最大值为 .

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.设
,则“a>1”是“a2>1”的（ ）

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件

(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件

16.如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）

(A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1

17.设
，
.若对任意实数x都有
，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

18.设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为
的三个函数.对于命题：①若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是增函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+ h(x)、g(x)+ h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x) 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（ ）

(A)①和②均为真命题 (B) ①和②均为假命题

(C)①为真命题，②为假命题 (D)①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.

将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，
长为
，
长为
，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.

（1）求圆柱的体积与侧面积；

（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

有一块正方形菜地EFGH，EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1，0），如图

（1）求菜地内的分界线C的方程；

（2）菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为
.设M是C上纵坐标为1的点，请计算以EH为一边、另有一边过点M的矩形的面积，及五边形EOMGH的面积，并判别哪一个更接近于S1面积的“经验值”.

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

双曲线
的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A、B两点.

（1）若l的倾斜角为
，
是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设
若l的斜率存在，且|AB|=4，求l的斜率.

22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

对于无穷数列{
}与{
}，记A={
|
=
，
}，B={
|
=
，
}，若同时满足条件：①{
}，{
}均单调递增；②
且
，则称{
}与{
}是无穷互补数列.

（1）若
=
，
=
，判断{
}与{
}是否为无穷互补数列，并说明理由；

（2）若
=
且{
}与{
}是无穷互补数列，求数列{
}的前16项的和；

（3）若{
}与{
}是无穷互补数列，{
}为等差数列且
=36，求{
}与{
}得通项公式.

23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分

已知
R，函数
=
.

（1）当
时，解不等式
>1；

（2）若关于
的方程
+
=0的解集中恰有一个元素，求
的值；

（3）设
>0，若对任意

，函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1，求
的取值范围.

参考答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.A

16.D

17.B

18.D

19.解：（1）由题意可知，圆柱的母线长
，底面半径
．

圆柱的体积
，

圆柱的侧面积
．

（2）设过点
的母线与下底面交于点
，则
，

所以
或其补角为
与
所成的角．

由
长为
，可知
，

由
长为
，可知
，
，

所以异面直线
与
所成的角的大小为
．

20.解：（1）因为
上的点到直线
与到点
的距离相等，所以
是以
为焦点、以

为准线的抛物线在正方形
内的部分，其方程为
（
）．

（2）依题意，点
的坐标为
．

所求的矩形面积为
，而所求的五边形面积为
．

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为
，而五边形面积与“经验值”之差

的绝对值为
，所以五边形面积更接近于
面积的“经验值”．

21.解：（1）设
．

由题意，
，
，
，

因为
是等边三角形，所以
，

即
，解得
．

故双曲线的渐近线方程为
．

（2）由已知，
．

设
，
，直线

．

由
，得
．

因为
与双曲线交于两点，所以
，且
．

由
，
，得
，

故
，

解得
，故
的斜率为
．

22.解：（1）因为
，
，所以
，

从而
与
不是无穷互补数列．

（2）因为
，所以
．

数列
的前
项的和为

．

（3）设
的公差为
，
，则
．

由
，得
或
．

若
，则
，
，与“
与
是无穷互补数列”矛盾；

若
，则
，
，
．

综上，
，
．

23.解：（1）由
，得
，

解得
．

（2）
有且仅有一解，

等价于
有且仅有一解，等价于
有且仅有一解．

当
时，
，符合题意；

当
时，
，
．

综上，
或
．

（3）当
时，
，
，

所以
在
上单调递减．

函数
在区间
上的最大值与最小值分别为
，
．

即
，对任意

成立．

因为
，所以函数
在区间
上单调递增，
时，

有最小值
，由
，得
．

故
的取值范围为
．

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