牡一中2015—2016年度上学期期末考试

高三数学（文科）试题

一、选择题（单选，每题5分，共60分）

1、设集合
，
，则
= (　　)

A
B
C
D

2、复数
所对应的点位于复平面内（　　）

A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

3、定义在R上的偶函数
满足：对任意的
，都有
.则下列结论正确的是 ( )

A
B

C
D

4、设等比数列
的公比
，前
项和为
，则
( )

A 5 B 7 C 8 D 15

5、过抛物线
的焦点
的直线交抛物线于
两点,点
是原点,若
，则
的面积为（　 ）

A
B
C
D

6、设命题
函数
在定义域上为减函数；命题

,当
时,
，以下说法正确的是（ ）

A


为真 B


为真 C
真
假　 D
，
均假

7、已知函数
，则使函数
有零点的实数
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

8、下列四个命题：

①样本相关系数r越大，线性相关关系越强；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③设
是不同的直线，
是不同的平面，若
∥
，且
，

则
∥
且
∥
；

④若直线
不垂直于平面
，则直线
不可能垂直于平面
内的无数条直线。

其中正确命题的序号为（ ）

A ①②③ B ①③ C ①②④ D ③

9、右面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[－2，]内

则输入的实数x的取值范围是(　　)

A
B

C
D

10、已知函数
有两个极值点,则实数
的取值范围是（　　）

A
B
C
D

11、已知双曲线
的右焦点为
，设A、B是双曲线上关于原点对称的两点，
的中点分别为M、N，已知以MN为直径的圆经过原点，且直线AB的斜率为
，则双曲线的离心率为（ ）

A 2 B
C
D

12、如图所示，在正方体
中，点
是棱
上的一个动点，平面
交棱
于点
．则下列命题中真命题的个数是（ ）

① 存在点
，使得
//平面
② 存在点
，使得
平面

③ 对于任意的点
，平面
平面
④ 对于任意的点
，四棱锥
的体积均不变

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个

二、填空题（每题5分，共20分）

13、若
均为非零向量，且
，则
的夹角为

14、某三棱锥的三视图如上右图所示，该三棱锥的体积是

15、若点
在直线
上，则
的值等于

16、有下列命题：

①在函数
的图象中，相邻两个对称中心的距离为
；

②命题：“若
，则
”的否命题是“若
，则
”；

③“
且
”是“
”的必要不充分条件；

④已知命题p：对任意的
R，都有
，则
是：存在
，使得
；

⑤命题“若
”是真命题；

⑥在△ABC中，若
，
，则角C等于
或
．

其中所有真命题的序号是

三、解答题（17题---21题每题各12分，选做题10分）

17、已知数列
的各项均为正数，前
项和为
，且

（1）求证数列
是等差数列； （2）设
求

18、某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取
名同学将其成绩(百分制，均为整数)分成
，
，
，
，
，
六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

（1）求分数在
内的频率，并补全这个

频率分布直方图；

（2）从频率分布直方图中，估计本次考试成

绩的中位数；

（3）若从第1组和第6组两组学生中，随机抽

取2人， 求所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率.

19、如图，在多面体PABCD中，
是边长为2的正三角形，

BD=DC=
,AD=
,PA⊥平面ABC。

（1）求证：PA∥平面BCD； （2）求三棱锥D-BCP的体积。

20、已知椭圆
上的点到两个焦点的距离之和为
，短轴长为
，直线
与椭圆C交于M、N两点。

（1）求椭圆C的方程； （2）若直线
与圆
相切，证明：
为定值。

21、已知函数
为自然对数的底数），
。

（1）当
时，求函数
的单调区间和极值；

（2）已知函数
在
上为增函数，且
，若在
上至少存在一个实数
，使得
成立，求
的取值范围。

选修题部分，请写清题号

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线

相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证： （I）
；

（II）AB2=BE?BD-AE?AC.

23、(本题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
为参数），若以O点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为
。

（1）求曲线C的直角坐标方程及直线
的普通方程；

（2）将曲线C上各点的横坐标缩短为原来的
，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线
,求曲线
上的点到直线
的距离的最小值。

24、(本题满分10分)选修4－5：不等式选讲

（1）已知
，若关于
不等式的解集为空集，求
的取值范围；

（2） 已知
，且
，求证：
。

2015---2016年度 期末考试参考答案

一、 选择

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

B

A

B

C

D

C

D

C

B

A

D





二、填空

13

14

15

16





4



④⑤



三、解答题：

17、（1）当
时，
； 2分

当
时，
，

=0 ，
5分

是以1为首项，1为公差的等差数列。 6分

（2）
10分

12分

18、解：（1）设分数在[70，80）内的频率为
，根据频率分布直方图，则有
，可得
，所以频率分布直方图为：

4分

（2）以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线把频率分步直方图分成面积相等的两个部分，由频率分步直方图知中位数要把最高的小长方形三等分，∴中位数是
所以估计本次考试成绩的中位数为

6分

（3）设所抽取2人成绩之差的绝对值大于10为事件M，

第1组学生数：
人（设为1，2，3，4，5，6）

第6组学生数：
人（设为A，B，C） 8分

所有基本事件有：12,13,14,15,16,1A,1B,1C,23,24,25,26,2A,2B,2C,34，35，36，3A,3B,3C,45， 46， 4A,4B,4C,56，5A,5B,5C,6A,6B,6C,AB,AC,BC 共有36种， 10分

事件M包括的基本事件有：1A,1B,1C, 2A,2B,2C, 3A,3B,3C，4A,4B,4C，5A,5B,5C, 6A,6B,6C

共有18种 所以

所以所抽取2人成绩之差的绝对值大于10的概率为
。 12分

19、（1）略

（2）
∥面BCD，
到面BCD的距离等于A点到面BCD的距离。

20、（1）由题意得

5分

（2）当直线
轴时，因为直线与圆相切，所以直线
方程为
。

当
时，得M、N两点坐标分别为
，

当
时，同理
； 7分

当
与
轴不垂直时，设
，由

联立
得

因为相交所以
，
，9分
=

综上，
（定值） 12分

21、（1）
，

令
得
，当
时，
递增；当
时，
递减，

所以
的递增区间为
，递减区间为
，极大值为
，无极小值。 5分

（2）由已知有
即
在
上恒成立，
恒成立，

8分

设
，

当
时，
，且
，所以不存在
使得
成立； 10分

当
时，
，又

在
上恒成立，
在
上递增，

由
得
，所以
的取值范围是
。 12分

22、解：(1)连结AD

因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°

则A、D、E、F四点共圆 4分

∴∠DEA=∠DFA---5分

(2)由(I)知，BD?BE=BA?BF，又△ABC∽△AEF

∴
7分

即：AB?AF=AE?AC ∴ BE?BD-AE?AC =BA?BF-AB?AF =AB(BF-AF) =AB2 10分

（1）曲线C的直角坐标方程为
，直线
的普通方程为
4分

（2）曲线
， 7分 它的参数方程为
为参数）

设
上任意一点为（
）到直线
的距离
，
，
当
时，
。 10分

24、（1）
（当且仅当
时取等

当