大庆实验中学2016届高三12月月考

数学（理）试题

一选择题

1．已知集合
为（ ）

A．
B．
C．
D．

2．用反证法证明命题“若
，
，则
三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）

A．
三个实数中最多有一个不大于零 B．
三个实数中最多有两个小于零

C．
三个实数中至少有两个小于零 D．
三个实数中至少有一个不大于零

3．用数学归纳法证明不等式“
（n＞2）”过程中，由
到
时，不等式的左边（ ）

A.增加了一项
B.增加了两项

C.增加了两项

，又减少了一项
D.增加了一项
，又减少了一项

4.若两个正数
满足,
,则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

5．已知函数
（
）的图象与
轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列，把函数
的图象沿
轴向左平移
个单位，得到函数
的图象．关于函数
，

下列说法正确的是（ ）

A．在
上是增函数 B．其图象关于直线
对称

C．函数
是奇函数 D．当
时，函数
的值域是

6．
设
则下列判断中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知等差数列
的等差
，且
成等比数列，若
，
为数列
的前
项和，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈ N*）个点，相应的图案中总的点数记为
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

9.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）

A.
B.
C.
D.

(9题） （10题）

10.如图，等边三角形
的中线
与中位线
相交于
，已知
是△
绕
旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是(　 )

A．动点
在平面
上的射影在线段
上 B．恒有平面
⊥平面

C．三棱锥
的体积有最大值 D．异面直线
与
不可能垂直

11．已知定义域为
的奇函数
的导函数为
，当
时，
，若
，
，
，则
的大小关系正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

12．分析函数
＝
＋
的性质:

①
的图象是中心对称图形；②
的图象是轴对称图形；③函数
的值域为
；④方程
有两个解．其中描述正确个数是（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

二填空题

13.已知
与
的夹角为
，
且
，求
_________.

14．在等式
的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________.

15．如图所示，正方体
的棱长为1，
分别是棱
，
的中点，过直线
的平面分别与棱
、
分别交于
两点，设
，
，给出以下四个结论：

①平面

平面
；②直线
∥平面
始终成立；③四边形
周长
，
是单调函数；④四棱锥
的体积
为常数；以上结论正确的是___________．

若关于
的不等式
在（0，+
）上恒成立，则实数
的取值范围是 ．

三解答题

17．已知锐角
中内角
、
、
所对边的边长分别为
、
、
,满足
,且
.

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）设函数
,
图象上相邻两最高点间的距离为
,求
的取值范围

18．已知命题
：函数
在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题
：
在区间[
]内有解．若命题“
且
”是假命题，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）数列
的前
项和为
，且

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足：
，求数列
的通项公式；

（3）令
，求数列
的前
项和
.

20．如图，多面体
中，四边形
是边长为
的正方形，
，且
，
，
.

（Ⅰ）求证：平面
垂直于平面
；

（Ⅱ）若
分别为棱
和
的中点，求证：
∥平面
；

（Ⅲ）求多面体
的体积.

21．设函数
．

（1）若函数
是定义域上的单调函数，求实数
的取值范围；

（2）若
，试比较当
时，
与
的大小；

（3）证明：对任意的正整数
，不等式
成立．

22．已知函数
，在
处的切线与直线
垂直，函数
．

（1）求实数
的值；

（2）设
是函数
的两个极值点，若
， 求
的最小值．

数学（理）答案

选择:CCCDD BAACD AB

填空: 13.2 14.64 15. ①②④ 16.

17（Ⅰ）
；(Ⅱ)
.

试题解析：（Ⅰ）因为
,由余弦定理知

所以
又因为
,则由正弦定理得:
，

所以
，所以
6分

(Ⅱ)

由已知
,则
8分

因为
,
,由于
,所以
10分

所以
，根据正弦函数图象,所以
12分

18【解析】解：先考查命题p：

若a＝0，则容易验证不合题意；

故
解得a<－1或
解得a>1因此a<－1或a>1

再考查命题q：因为x∈[1，2] ，

所以a≤－(x＋
)在[1，2]上有解．可知
当且仅当
时等号成立，因此

当命题p和命题q都真时

因为命题“p且q”是假命题，所以命题p和命题q中一真一假或都为假

综上，a的取值范围为．

19

【答案】（1）
；（2）
；（3）
.

试题解析：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n（n＋1）－（n－1）n＝2n，

a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n 3分

（2）
，①
②

②－①得，
，得bn＋1＝2（3n＋1＋1），又当n=1时，b1=8，所以
．

（3）
＝n（3n＋1）＝n·3n＋n， 8分

∴Tn＝c1＋c2＋c3＋ ＋cn＝（1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n×3n）＋（1＋2＋ ＋n），

令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋ ＋n×3n＋1②，

－②得，－2Hn＝3＋32＋33＋ ＋3n－n×3n＋1＝
－n×3n＋1

∴
， .10分

∴数列{cn}的前n项和
. 12分

20（1）略

（Ⅱ）作
，
，
，
是垂足.

在
中，
,
.

在直角梯形
中，
.

∴
,∴四边形
是平行四边形，∴
.

而
平面
，∴
平面
. 9分

（Ⅲ）

21. 试题解析：（1）∵
又函数
在定义域上是单调函数．

∴
或
在
上恒成立

若
在
上恒成立，即函数
是定义域上的单调地增函数，则
在
上恒成立，由此可得
；

若
在
上恒成立，则
在
上恒成立．即
在
上恒成立．

∵
在
上没有最小值

∴不存在实数
使
在
上恒成立．

综上所述，实数
的取值范围是
．

（2）当
时，函数
．

令

则

显然，当
时，
，所以函数
在
上单调递减

又
，所以，当
时，恒有
，即
恒成立．

故当
时，有

（3）法1：证明：由（2）知

即

令