大庆铁人中学高三学年上学期期末考试

文科数学试题

试卷说明：

1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。

2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．若集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．若复数
（
，
为虚数单位）是纯虚数，则实数
的值为 (　　)

A．-2 B．4 C．-6 D．6

3．甲、乙两名运动员各自等可能的从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为( )

A．
B．
C．
D．

4．已知等比数列
满足
则
(　　)

A．21 B. 42 C. 63 D. 84

5．设函数

，则满足
的
的取值范围是(　 )

A．
B．
C．
D．

6．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为(　　)

A.
B.
C．6 D．7

7．过三点
的圆交
轴于
两点，则
(　 )

A．
B．
C．
D．

8．当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．7 B．42 C．210 D．840

9．在三棱柱
中，侧棱垂直于底面，
且三棱柱
的体积为3，则三棱柱
的外接球的表面积为 (　　)

A．
B．
C．
D．

10．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx (－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)

A．2 B．4 C．6 D．8

已知集合

若
，使得
成立，则实数
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12．设
为自然对数的底数.若
，则( )

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知平面向量
，且
，则
的值为________。

若变量
满足约束条件且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为________。

15. 已知双曲线
的一条渐近线为
，则双曲线的离心率为________。

16．已知等差数列
的前
项和为
，
，则数列
的前100项和为 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17（本小题满分10分)已知命题
：存在实数
，使方程
有两个不等的负根；命题
：存在实数
，使方程
无实根.若“
”为真，“
”为假，求
的取值范围.

18（本小题满分12分) 如图，在
中，
，
，点
在
边上，且
，
。

求
；

求
的长。

18题图

19（本小题满分12分）已知数列
是首项为
，公比为
的等比数列，设
，数列
满足
.

(1)求数列
的通项公式；

(2)求数列
的前
项和
.

20. （本小题满分12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE⊥DC；

(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．

21. (本小题满分12分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点P(1，)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

22(本小题满分12分) 已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）设
，若对任意
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．

大庆铁人中学高三学年上学期期末考试文科数学参考答案

CDABAA CCADDB

17【解】若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则，解得m＞2，

即m＞2时，p真.若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0，解得1＜m＜3，即1＜m＜3时，q真.

因“p∨q”为真，所以命题p、q至少有一个为真，

又“p∧q”为假，所以命题p、q至少有一个为假，

因此，命题p、q应为一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.

∴或，解得m≥3或1＜m≤2.

18解：（1）在
中，因为
，所以
，

所以

（2）在
中，由正弦定理得，

在
中，由余弦定理得，

所以

19. 解:(1)由题意，知an＝()n(n∈N*)，

又bn＝
，故bn＝3n－2(n∈N*)．

(2)由(1)，知an＝()n，bn＝3n－2(n∈N*)，

所以cn＝(3n－2)×()n(n∈N*)．

所以Sn＝1×＋4×()2＋7×()3＋…＋(3n－5)×()n－1＋(3n－2)×()n，

于是Sn＝1×()2＋4×()3＋7×()4＋…＋(3n－5)×()n＋(3n－2)×()n＋1.

两式相减，得

Sn＝＋3[()2＋()3＋…＋()n]－(3n－2)×()n＋1＝－(3n＋2)×()n＋1.

所以Sn＝－×()n(n∈N*)．

20. (1)证明　如图(2)，取PD中点M，连接EM，AM.

由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD.而CD⊥DA，

从而CD⊥平面PAD.因为AM?平面PAD，

于是CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

(2)解　如图(2)，连接BM.由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.

又因为AD＝AP，M为PD的中点，故PD⊥AM，所以PD⊥平面BEM.故平面BEM⊥平面PBD，

所以，直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，

故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，所以BE＝，故在Rt△BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此，sin∠EBM＝.

所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

21.解　(1)∵c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为＋＝1.

(2)假设存在符合条件的点M(x0，y0)，设直线l的方程为x＝my－1，

由消去x得：(3m2＋4)y2－6my－9＝0，由条件知Δ>0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，∴AB的中点为(－，)，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB的中点与MF2的中点重合，

即∴M(－，)，

把点M的坐标代入椭圆C的方程得：27m4－24m2－80＝0，解得m2＝，

∴存在符合条件的直线l，其方程为：y＝±(x＋1)．

22.解：（I）

，

由
及
得
；由
及
得
，

故函数
的单调递增区间是
；单调递减区间是

（II）若对任意
，
，不等式
恒成立，

问题等价于
，由（I）可知，在
上，
是函数极小值点，这个极小值是唯一的