哈尔滨市第六中学2015-2016学年度上学期期末考试

高三理科数学

考试时间：120分钟 满分：150分

一、选择题：每小题5分，共12小题

1.集合
,则
（ ）

A.
B.

C.
D.

2.已知复数
，则下列说法正确的是（ ）

A．
的虚部为
B.
的共轭复数为

C．
D.
在复平面内对应的点在第二象限

3.下列命题中正确命题的个数是（ ）

（1）
是
的充分必要条件

（2）
则
最小正周期是

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变

（4）设随机变量
服从正态分布
,若
，则

A.4 B.3 C.2 D.1

4. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长

都是
，该几何体的体积为 ( )

A．
B.

C.
D.

5.函数
的单调递减区间为（ ）

A.

B.

C.

D.

6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ）

A．
B．
　　　　　

C．
　　　　　　 D．

7.变量
满足条件
，则
的最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有
人，其中一班、二班、三班、四班各
人，现在从中任选
人，要求这三人不能是同一个班级的学生，且在三班至多选
人，不同的选取法的种数为 ( )

A.
B.
C.
D.

9.设不等式组
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.若抛物线
的焦点为
，其准线经过双曲线
的左焦点，点
为这两条曲线的一个交点，且
，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B.
C.
D.

11.在平行四边形
中，
,
,若将其沿
折成直二面角
,则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）

A．
B.
C.
D.

12.已知函数
，在区间
上任取三个数
均存在以
，
，
为边长的三角形，则
的取值范围是（ ）

A．
B.

C.
D.

二、填空题：每小题5分，共20分

13.在
的展开式中，所有项的系数和为
，则
的系数等于

14.
为等腰直角三角形，
,
为斜边
的高，点
在射线
上，则
的最小值为

15.椭圆
的左焦点为
，
分别为其三个顶点. 直线
与
交于点
，若椭圆的离心率
，则
=

16. 在
中，内角
的对边分别为
，且
，则
的面积最大值为

三、解答题：共70分

17.已知数列
的前
项和为
，且满足
.

(1)求数列
的通项公式;

(2)若
,
,且数列
的前
项和为
,求
的取值范围.

18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：

优秀

非优秀

总计



男生

40

20

60



女生

20

30

50



总计

60

50

110





（Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；

（Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为
，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量
表示这3人中通过预选赛的人数，求
的分布列与数学期望.

附:
＝

0.500

0.400

0.100

0.010

0.001





0.455

0.708

2.706

6.635

10.828





19.
为等腰直角三角形，
，
，
、
分别是边
和
的中点，现将
沿
折起，使面

面
，
、
分别是边
和
的中点，平面
与
、
分别交于
、
两点．

（Ⅰ）求证：


；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

20.已知椭圆
的左，右顶点分别为
，圆
上有一动点
,点
在
轴的上方，
，直线
交椭圆
于点
，连接
.

(1)若
,求△
的面积
;

(2)设直线
的斜率存在且分别为
,若
,

求
的取值范围.

21.设函数

(1)当
时，求函数
的最大值；

(2)令
，（
）

其图象上任意一点
处切线的斜率
≤
恒成立，求实数
的取值范围；

(3)当
，
，方程
有唯一实数解，求正数
的值．

选作题：考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．

22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，已知
点在⊙
直径的延长线上，
切⊙
于
点，
是
的平分线，交
于
点，交
于
点．

（Ⅰ）求
的度数；（Ⅱ）若
，求
．

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
(
为参数)，若以该直角

坐标系的原点
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为:

（其中
为常数）.

（Ⅰ）若曲线
与曲线
只有一个公共点，求
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求曲线
上的点与曲线
上点的最小距离．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知实数
满足
，且
.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）证明：
.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



A

B

C

A

B

B

D

B

A

C

C

D





13.-270 14.
15.
16.

17.(1)当
时,
,解得
当
时,
……①
……② ②-①得
即

数列
是以2为首项,2为公比的等比数列

(2)


=

18. (I)

有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关.

(II)
的可能取值为0,1,2,3

X

0

1

2

3



P













19. (Ⅰ)因为
、
分别是边
和
的中点，所以
，因为
平面
，
平面
，所以
平面
因为
平面
，
平面
，平面

平 面
所以
又因为
，所以


.

(Ⅱ) 如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，

，
，
，
，
，
，

，
，
，
，

设平面
的一个法向量为
，则
，
，令
，解得
，
，则