2016届江西省赣中南五校第三次考试期末数学试卷

试 题 卷（文理通用解析版）

本卷总分150分，考试时间120分钟。请考生在答题卡上作答。

选择题（50分）

设集合
，集合
，集合C=(1,4],C∈N+；则CuA∩C=( C )

A．{2,3,} B． {
} C.{3,4} D.{1,2,3,4}

2． 条件
条件
，则条件
是条件
的（ A ）

充分不必要条件
必要不充分条件

充要条件
既不充分也不必要条件

3. 设函数
的图象与
轴相交于点P, 则曲线在点P的切线方程为( C )

（A）
（B）
（C）
（D）

4．设a=
，b=
，c=lg0.7，则 ( C )

A．c＜b＜a B．b＜a＜c

C．c＜a＜b D．a＜b＜c

5．函数f?(x)=ex-x-2的零点所在的区间为 ( C )

A．(-1，0) B．(0，1)

C．(1，2) D．(2，3)

6、设函数
，若
，则实数
的取值范围是 （ C ）

A、
B、
C、
D、

7．已知对数函数
是增函数,则函数
的图象大致是( D )

8．函数y＝loga(x＋1)＋x2－2(0＜a＜1)的零点的个数为(　C　)

A．0 B．1

C．2 D．无法确定新 课 标 第 一 网

解析：选C.令loga(x＋1)＋x2－2＝0，方程解的个数即为所求函数零点的个数．即考查图象y1＝loga(x＋1)与y2＝－x2＋2的交点个数

9．若函数f?(x)=-x3+bx在区间(0，1)上单调递增，且方程f?(x)=0的根都在区间[-2，2]上，则实数b的取值范围为 ( D )

A．[0，4]　 B．

C．[2，4] D．[3，4]

10．已知定义在R上的奇函数f?(x)是
上的增函数，且f (1)= 2，f (-2)=-4，设P={x|f (x+t)-4<0}，Q={x|f (x)<-2}．若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（ B ）

A．t≤-1　 B．t>3 C．t≥3 D． t>-1

二、填空题

11．命题“若
，则
”的逆否命题为________若X2≥1，则（-∞，-1）U（1，+∞）________

12．已知偶函数f?(x)=
(n∈Z)在(0，+∞)上是增函数，则n= 2 ．

13、已知函数
既存在极大值又存在极小值，则实数
的取值范围是__
或
_____________

14．若不等式1一log
＜0有解，则实数a的范围是 ? ；

15．已知函数
定义域为[-1, 5], 部分对应值如表

-1

0

4

5





1

2

2

1




的导函数
的图象如图所示, 下列关于函数
的命题

① 函数
的值域为[1,2]; ② 函数
在[0,2]上是减函数;

③ 如果当
时,
的最大值是2, 那么
的最大值为4;

④ 当
时, 函数
有4个零点.

其中真命题是 ② (只须填上序号).

三、解答题

16．已知命题：“
，使等式
成立”是真命题，

（1）求实数m的取值集合M；

（2）设不等式
的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，

求a的取值范围．

答案:(1)

(2)
或

17．（本题满分12分）已知二次函数y= f?(x)的图象过点(1，-4)，且不等式f?(x)<0的解集是(0，5)．

（Ⅰ）求函数f?(x)的解析式；

（Ⅱ）设g(x)=x3-(4k-10)x+5，若函数h(x)=2f?(x)+g(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，求y=h(x)在[-3，1]上的最大值和最小值．

17．解：（Ⅰ）由已知y= f?(x)是二次函数，且f?(x)<0的解集是(0，5)，

可得f?(x)=0的两根为0，5，

于是设二次函数f?(x)=ax(x-5)，

代入点(1，-4)，得-4=a×1×(1-5)，解得a=1，

∴ f?(x)=x(x-5)． ………………………………………………………………4分

（Ⅱ）h(x)=2f?(x)+g(x)=2x(x-5)+x3-(4k-10)x+5=x3+2x2-4kx+5，

于是
，

∵ h(x)在[-4，-2]上单调递增，在[-2，0]上单调递减，

∴ x=-2是h(x)的极大值点，

∴
，解得k=1． …………………………6分

∴ h(x)=x3+2x2-4x+5，进而得
．

令
，得
．

由下表：

x

(-3，-2)

-2

(-2，
)



(
，1)





+

0

-

0

+



h(x)

↗

极大

↘

极小

↗





可知：h(-2)=(-2)3+2×(-2)2-4×(-2)+5=13，h(1)=13+2×12 -4×1+5=4，

h(-3)=(-3)3+2×(-3)2-4×(-3)+5=8，h(
)=(
)3+2×(
)2-4×
+5=
，

∴ h(x)的最大值为13，最小值为
．……………………………………12分

18、（本题满分12分）

已知函数

（1）求
的定义域，判断
的奇偶性并证明；

（2）对于
，
恒成立，求
的取值范围。

18、（本题满分12分）

解：（1）∵
∴
∴定义域为
…… 2分

当
时，

∴
为奇函数。 …… 6分

（2）由
时，
恒成立

①当
时，
∴

设

∴

当
时，
，∴
，∴
……10分

②当
时，
，
∴

∴

由①知，
在
上为增函数，∴
，∴

∴
的取值范围是
……13分

19、（本题满分12分）

已知函数
,
，其中
R .

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
在其定义域内为增函数，求正实数
的取值范围；

解：（Ⅰ）
的定义域为
，且
， ----------------1分

①当
时，
，
在
上单调递增； ----------------2分

②当
时，由
，得
；由
，得
；

故
在
上单调递减，在
上单调递增. ----------------4分

（Ⅱ）
，
的定义域为

----------------5分

因为
在其定义域内为增函数，所以
，

而
，当且仅当
时取等号，所以
-------8分

20．（本小题满分13分）

已知函数
(

R)．

(1) 若
，求函数
的极值；

（2）是否存在实数
使得函数
在区间
上有两个零点，若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由。

20．解：(1)
………………1分

，







1







-

0

+

0

-





递减

极小值

递增

极大值

递减




，
…………5分

（2）
，

，

① 当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
，
，
，所以
在区间
，
上各有一个零点，即在
上有两个零点； ………………………7分

当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为

增函数，
，
，
，
，所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点； …………………………9分

③ 当
时，
在
上为增函数，在
上为减函数，
上为增函数，
，
，
，
， 所以
只在区间
上有一个零点，故在
上只有一个零点； …………………………11分

故存在实数
，当
时，函数
在区间
上有两个零点。……………12分

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
为常数）。

（I）若
，求证：函数
在（1，+
）上是增函数；

（II）若
，求函数
在
上的最小值及相应的
值；

（III）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围。

解：（I）当
时，
，当
，
，

故函数
在
上是增函数．………………………………………………（4分）

（II）
，当
，
……………（6分）

若
，
在
上非负（仅当
，x=1时，
），故函数
在
上是增函数，此时

．　………………………………（8分）

（III）不等式
， 可化为
．

∵
, ∴
且等号不能同时取，所以
，即
，

因而
（
）………………………………………………………（10分）

令
（
），又
， ……………（12分）

当
时，
，
，

从而
（仅当x=1时取等号），所以
在
上为增函数，

故
的最小值为
，所以a的取值范围是
． …………………（14分）

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