南昌二中2015—2016学年度上学期第四次考试

高三数学（理）试卷

一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）

1．复数z满足
（i是虚数单位），则|z|= ( )

A．
B．
C．
D．

2．若a、b是任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是( )

A．a2＞b2 B．
C．lg（a﹣b）＞0 D．

3．下列命题中正确的是（ ）

A．若
为真命题，则
为真命题

B．“
，
”是“
”的充分必要条件

C．命题“若
，则
或
”的逆否命题为“若
或
，则

”

D．命题

，使得
，则

，使得

4．在△ABC中,
为角
的对边,若
,则△ABC是( )

A．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形

5．曲线
与坐标轴所围成图形的面积为（ ）

A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 4

6．设
、
、
是三个不重合的平面，m、n是不重合的直线，给出下列命题：①若
⊥
,
⊥
，则
⊥
;②若m∥
,n∥
,
⊥
,则m⊥n;③若
∥
,
∥
,则
∥
④若m、n在
内的射影互相垂直，则m⊥n，其中错误命题的个数为（ ）

A．3 B. 2 C.1 D.0

7．将函数y=sin（2x+φ）（φ＞0）的图象沿x轴向左平移
个单位后，得到一个偶函数的

图象，则φ的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A．10+

B．10+

C．6+2
+

D．6+
+

9．函数
的图象大致是( )

A．
B．
C．
D．
[.]

10．已知a，b都是负实数，则
的最小值是( )

A．
B．2（
﹣1） C．2
﹣1 D．2（
+1）

11．设
是定义在R上的函数，其导函数为
，若
+
＜1，f（0）=2015，则不等式ex
﹣ex＞2014（其中e为自然对数的底数）的解集为( )

A．(2014,2015) B．（﹣∞，0）∪(2015, +∞) C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）

12．已知
，函数

，若关于
的方程
有6个解，则
的取值范围为　（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．如图，已知点
是
内任意一点，连结
并延长

交对边于
，则
,

类比猜想：点
是空间四面体
内的任

意一点，连结
并延长分别交

面
于点
，

则有 .．

14．球O内有一个内接正方体，正方体的全面积为24，则球O的体积

是 ．

15．已知向量
与
的夹角为120°，|
|=2，|
|=3，若
=
+
，且
⊥
，则实数λ的值为 ．

16．已知实数
满足
，则
的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题，共60分）

17．（本小题满分12分）

已知向量
．

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）若
，求
的值．

18．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn且Sn=
．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设
，数列{cn}的前n项和Tn ,求使
成立的
的最大值．

19.（本小题满分12分）

如图，在直角梯形
中，
，
，
平面
，
，
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）在直线
上是否存在点
，使二面角
的大小为
？若存在，求出
的长；若不存在，说明理由．

20.（本小题满分12分）

已知等差数列
的公差为
，前
项和为
，且
．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
与前
项和
；

（Ⅱ）从数列
的前五项中抽取三项按原来顺序恰为等比数列
的前三项，记

数列
的前
项和为
，若存在
，使得对任意
，总有
成立，求实数
的取值范围．

21．（本小题满分12分）

已知函数
.

（Ⅰ）设
，求
的零点的个数；

（Ⅱ）设
，且对于任意
，
，试比较
与
的大小．

四、选做题（共10分）

22．（本小题满分10分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）当
时，
恒成立，求
的取值范围．

23. （本小题满分10分）

已知
.

（Ⅰ）关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）设
，且
，求证：
．

南昌二中2015—2016学年度上学期第四次考试

高三数学（理）试卷参考答案

1A2D3D4C5B 6A7C8C9A10B 11D12D

12解：函数
在
上递减，在
和
上

递增，
的图象如图所示，由于方程
最多只有

两解，因此由题意
有三解，所以
且三解

满足
，
，
，
，

所以
有两解，
，
，所以
．

13,
; 14,

; 15,
; 16,

17解：（Ⅰ）∵向量
，
，

当
时，
，
；

（Ⅱ）∵
，即
；

两边平方，得
，即
，

∴
，∴
．

18解：（Ⅰ）an=n．

（Ⅱ）Tn=
．

19解：（Ⅰ）如图，作
，
，连接
交
于
，

连接
，
，

且
，

，即点

在平面
内．由
平面
，知
，

四边形
为正方形，四边形
为平行四边形，

为
的中点，
为
的中点，

．

平面
，
平面
，

平面
．

（Ⅱ）法一：如图，以
为原点，
为
轴，
为
轴，

为
轴，建立空间直角坐标系
．

则
，
，
，设
，

，
，

设平面
的一个法向量为
，

则
，令
，得
，
，

．

又

平面
，

为平面
的一个法向量，

，解得
，

在直线
上存在点
，且
．

20解：（Ⅰ）

为等差数列，公差
，且
，

，
．
，
．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列
的前5项为5，
，
，
，
，

等比数列
的前
项为
，
，
，

，

，

，
．

，

，

．

又

，

时，
，

存在
，使得对任意
，总有
成立．

，

，
实数
的取值范围为
．

21解：（Ⅰ）
，

，

(Ⅱ) 由
，且对于任意
，
，则函数
在
处取得最小值，

由
得
是
的唯一的极小值点，

故
，整理得
即
.

令
，则
, 令
得
，

当
时，

单调递增；当
时，

单调递减.

因此
，故
，即
，即
．

22.解：（Ⅰ）当
时，
即

等价于：
或