南昌二中2015—2016学年度上学期第四次考试

高三数学（文）试卷

一、选择题（每小题5分，共60分）

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．
是直线
和直线
垂直的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3.已知
，
，
满足
，则

A．
B．
C．
D．

4．向量
满足
则向量
与
的夹角为（ ）

A.
　　　 B．
　　　　 C．
　　　　　　 D．

5．已知
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,给出下列命题：

①若
,
,则
； ②若
,
,且
,则
；

③若
,
,则
； ④若
,
,且
,则
．

其中正确命题的序号是（ ）

A．①④ B．②④ C．②③ D．①③

6. 函数
的最大值与最小值之差为（ ）

A．
B.
C.3 D.

7. 各项均为正数的等差数列
中，
，则前12项和
的最小值为（ ）

A.
　B.
　C.
　D.

8．如图2，网格纸是边长为1的小正方形，在其

上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面

体的体积为（ ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 20

9．已知变量
、
满足约束条件
，则
的取

值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．过点
，且在
轴上的截距是在
轴上的截距的
倍的直线方程是（ ）

A.
B.
或

C.
D.
或

11．若定义在
上的偶函数
是
上的递增函数，则不等式
的解集是（ ）

A.
B.
C.
D.
[]

12. 设
，若函数
在区间(0，4)上有三个零点，则实数a的取值范围是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知
， 使不等式
成立，则实数
的取值范围是 .

14. 过点
的直线与圆
相交于
两点，则
的最小值为　 　.

15.已知
，
平面
，若
，则四面体
的外接球（顶点都在球面上）的表面积为 .

16．函数
，
，
，
，对任意的
，总存在
，使得
成立，则
的取值范围为 ．

三、解答题（共6小题，共70分）

17．（本小题满分10分）已知圆C经过点
，和直线
相切，且圆心在直线
上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

18. （本小题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
的周期及单调递增区间；

（2）在
中，三内角A,B,C的对边分别为
，已知函数
的图象经过点
，若
，求a的值.

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱
中，D是
的中点。

（1）证明：
平面
；

（2）设
，求异面直线
与
所成角的大小．

20．（本小题满分12分）

设等差数列
的前n项和为
，
数列
的前n项和为
满足

(I)求数列
的通项公式及数列
的前n项和；

(Ⅱ)是否存在非零实数
，使得数列
为等比数列？并说明理由

21．（本小题满分12分）

如图1，在直角梯形
中，
，
是
的中点，
是AC与
的交点，将
沿
折起到图2中
的位置，得到四棱锥
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）当平面
平面
时，四棱锥
的体积为
，求
的值．

22. （本小题满分12分）

已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，求证：
在
上为增函数；

（Ⅲ）若
在区间
上有且只有一个极值点，求
的取值范围．

南昌二中2015—2016学年度上学期第四次考试

高三数学（文）试卷参考答案案

一、选择题

1.B 2.A 3. A 4. C 5.C 6. A 7. D 8.C 9. A 10. B 11. A 12. D

二、填空题

13.
14. 4 15.
16.

三、解答题

17．（本小题满分10分）已知圆C经过点
，和直线
相切，且圆心在直线
上．

（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

【答案】（1）
；（2）
或
．

试题解析: 解：（1）设圆心的坐标为
，

则
，化简得
，解得
．

，半径
．

圆C的方程为
．

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为
，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件。

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
，由题得
，解得
，
直线l的方程为
．

综上所述：直线l的方程为
或
．

18. （本小题满分12分）已知函数
.

（1）求函数
的周期及单调递增区间；

（2）在
中，三内角A,B,C的对边分别为
，已知函数
的图象经过点
，若
，求a的值.

19．如图，直三棱柱
中，
分别是
，
的中点。

（1）证明：
平面
；

（2）设
，求异面直线
与
所成角的大小．

【答案】（1）见解析；（2）

试题解析：（1）证明：连结
，交
于点O，连结OD，

因为D是AB的中点，所以
，

因为
平面
，OD?平面
，

所以
平面
．

（2）解：结合（1）易知
即为异面直线
与
所成角，

因为AC=BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，

又因为该三棱柱是直三棱柱，所以CD⊥平面
，

即CD⊥平面
，

,

．

20．设等差数列
的前n项和为
，
数列
的前n项和为

满足

(I)求数列
的通项公式及数列
的前n项和；

(Ⅱ)是否存在非零实数
，使得数列
为等比数列？并说明理由

【答案】 (I)
(II)见解析.

【解析】(I)设数列
的公差为d,由
，解得
,

因此
的通项公式是

所以
，从而前n项的和为

(II)因为

当
时，
；当
时，
.

所以
，若
是等比数列，则有
而
，所以
矛盾，故数列
不是等比数列.

20．如图1，在直角梯形
中，
，
是
的中点，
是AC与
的交点，将
沿
折起到图2中
的位置，得到四棱锥
．

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）当平面
平面
时，四棱锥
的体积为
，求
的值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题解析：（Ⅰ）在图1中，因为
，
是
的中点
，所以
，

即在图2中，
从而
平面

又
所以
平面
．

（Ⅱ）由已知，平面
平面
，

且平面
平面

又由（Ⅰ）知，
，所以
平面
，

即
是四棱锥
的高，

由图1可知，
，平行四边形
面积
，

从而四棱锥
的为
，

由
，得
．

22.已知函数
，
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，求证：
在
上为增函数；

（Ⅲ）若
在区间
上有且只有一个极值点，求
的取值范围．

（20）解：函数
定义域为
，
.

（Ⅰ）当
时，
，