2015—2016学年度第一学期南昌市八一中学

高三文科数学12月份月考试卷

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设复数
（
是虚数单位），则
=

A．
B．
C．
D．

2．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．

D．

3．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的（）A．充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是A．
　　B．
C．
　　D．

5．四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．等比数列
中的
、
是函数
的极值点，则
（ ）A. 2015 B. 4030 C.4032 D.2016

7．
中，
分别是角A，B，C的对边，向量
且
=（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若x,y满足约束条件
且目标函数
仅在点（1,0）处取得最小值，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

9．阅读如图所示的程序框图，则输出的
的值是（　 　）

A．
B．
C．
D．

10．若函数
在区间
上为单调函数，则实数
不可能取到的值为

A．
B．
　 　　C．
　 　D．

11．设二次函数
（
）的值域为
，则
的最大值为（ ）A．
B．
　C．
D.

12．已知定义域为R的函数
以4为周期,且函数
，若满足函数
恰有5个零点，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

13．已知
是两条不同的直线，
为两个不同的平面，有下列四个命题：①若
，
，则
；②若
，则
；③若
，则
；④若
，则
．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________． 14．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为 .

15. 若函数
为
上的增函数，则实数
的取值范围是 ．

16.如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：
…，则第
行第3个数字是 ．

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 在△ABC中，设A、B、C的对边分别为a、b、c，向量
,若
.（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若
,且
，求△ABC的面积.

18.在四棱锥
中，
，
，
平面
，
为
的中点，
．（1）求四棱锥
的体积
；（2）若
为
的中点，求证
平面
；（3）求证
∥平面
．

19．已知等比数列
是递增数列，

，数列
满足
，且
（
）（1）证明：数列
是等差数列；

（2）若对任意
，不等式
总成立，求实数
的最大值．

20 四棱锥A-BCDE的正视图和俯视图如下，其中正视图是等边三角形，俯视图是直角梯形.（I）若F为AC的中点，当点M在棱AD上移动，是否总有BF丄CM，请说明理由.(II)求三棱锥
的高.

21. 已知函数
，在区间
上有最大值4，最小值1，设
．（1）求
的值；（2）不等式
在
上恒成立，求实数
的范围；

22．已知函数
．（Ⅰ）当
时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数h（x）的单调区间；

（Ⅲ）若
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求
的取值范围．

高三文科数学参考答案

一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

C

A

D

D

A

A

B

B

D

C

B



二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13 ①④．

14. _______
_________ 15.

16.________
________

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 解:（1）m+n=(
+cosA-sinA,cosA+sinA)

|m+n|2=(
+cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+2
(cosA-sinA)+(cosA-sinA)2+(cosA+sinA)2

=2+2
(cosA-sinA)+2=4-4sin（A-
） 3分

∵|m+n|=2,∴4-4sin（A-
）=4,sin（A-
）=0.

又∵0＜A＜
,∴-
＜A-
＜
,∴A-
=0, ∴A=
. 6分

(2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA, 又b=4
,c=
a,A=
，

得a2=32+2a2-2×4
×
a·
, 即a2-8
a+32=0,解得a=4
，

∴c=8.∴S△ABC=
b·csinA=
×4
×8×sin
=16.

∴ S△ABC=
×(4
)2=16. 12分

18解析：（1）在
中，
，∴
，
．在
中，
，∴
．∴

．则
． （2）∵
，
为
的中点，∴
．∵
平面
，∴
，∵
，
，∴
平面
，∴
．∵
为
中点，
为
中点，∴
∥
，则
，∵
，∴
平面
．（3）证法一：取
中点
，连
．则
∥
，∵

平面
，

平面
，∴
∥平面
．在
中，
，
，∴
．而
，∴
∥
． ∵

平面
，

平面
，∴
∥平面
． ∵
，∴平面
∥平面
．∵

平面
，∴
∥平面
． 证法二：延长
，设它们交于点
， 连
．∵
，
，∴
为
的中点． ∵
为
中点，∴
∥
．∵

平面
，

平面
，∴
∥平面
．

19解（1）因为
，
，且
是递增数列，

所以
，所以
，所以

因为
，所以
，所以数列
是等差数列 ．

（2）由（1）
，所以

最小总成立，因为
，所以
或2时
最小值为12，

所以
最大值为12．

20．解：（Ⅰ）总有
理由如下:

取
的中点
，连接
，

由俯视图可知，

，

，

所以
……………………2分

又
,所以
面
，

故
.

因为
是
的中点，所以
.…………………4分

又
故
面
，

面
，所以
. ……………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

，
,

又在正
ABC中，
,所以
, …………8分

在
中，
,在直角梯形
中，
,

在
中，
,在
中，

可求
,…10分

设三棱锥
的高为
，则
,

又
,可得
，解得
.

所以，三棱锥
的高为
. ……………………12分

21

……………3分

……………..6分

所以：
…………………..12分

22. 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），

∴
，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ）
，定义域为（0，+∞），
，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，

∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．

②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．

当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，

即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，

即函数
在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．

由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，

∴
，∴
，∵
，∴
；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，

∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，

∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2

此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：
或a≤﹣2．

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