2015—2016学年度高三正月两校联考

数学（理）试卷

（命题：揭阳一中洪琼）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1. 设集合
，则
等于( )

A.
B.
C.
D.

2．已知i是虚数单位，则
( )

A．
B．
C．
D．

3．设函数
的导函数
，则数列
的前n项和是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知平面向量
若
则实数
的值为 （ ）

A．2 B．
C．
D．

5．若
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 下列叙述中正确的是（ ）

A．若
，则“
”的充分条件是“
”

B．若
，则“
”的充要条件是“
”

C．命题“对任意
，有
”的否定是“存在
，有
”

D．
是一条直线，
是两个平面，若
，则

7．△ABC中，已知cosA=
，sinB=
，则cosC的值为（ ）

A.
B.
C.
或
D.

8．设抛物线
的焦点为
，准线为
，
为抛物线上一点，
，
为垂足，如果直线
斜率为
，那么
（ ）

A．
B．8 C．
D． 16

9．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P—ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且
，则球体毛坯体积的最小值应为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．若定义在R上的减函数
，对任意的
，不等式
成立，则当
时，
的取值范围是( )

A．
B.
C.
D.

11.甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（??? ）

A．甲得9张，乙得3张?? ?B．甲得6张，乙得6张?

C．甲得8张，乙得4张 D．甲得10张，乙得2张

12. 已知
，且
在（-1, 1］内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．

C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 执行程序框图，如果输入
，那么输出
．

14. 设

则

15. 已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点为
，点A在C上，

若
，则
。

16. 数列｛
｝的首项

,

则数列｛
｝的通项公式
=

三、解答题（共70分）

17．（本题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及
的值．

18．（本题满分12分）某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．?

分组

频数

频率



[0，50]

n1

0.15



（50，100]

n2

0.25



（100，150]

n3

0.30



（150，200]

n4

0.20



（200，250]

n5

0.10



 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求
的值．（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用X表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．(本小题满分12分) 已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；

（2）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

20. （本题满分12分）已知椭圆
:
的一个焦点为
,而且过点
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）设椭圆
的上下顶点分别为
,
是椭圆上异于

的任一点,直线
分别交
轴于点
,若直线

与过点
的圆
相切,切点为
.证明：线段
的长

为定值,并求出该定值.

21．（本题满分12分）

已知函数
(常数
.

（1）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（2）讨论函数
在区间
上零点的个数（
为自然对数的底数）.

（请在第22、23、24题中任选一题解答，满分10分）

22．已知AB是圆
的直径，C为圆
上一点，CD⊥AB于点D，弦BE与CD、AC 分别交于点M、N，且MN = MC

（1）求证：MN = MB；（2）求证：OC⊥MN。

23．在直角坐标系
中，圆
，圆

（1）在以
为极点，
轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆
的极坐标方程，并求出圆
的交点坐标（用极坐标表示）

（2）求圆
与圆
的公共弦的参数方程

24.已知函数
．

（1）若不等式
的解集为
，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数
使
成立，求实数
的取值范围.

2015—2016学年度高三正月联考数学（理）试卷答案

一、选择题（60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

A

B

D

D

A

B

D

C

A

A



二、填空题（20分）

13. 4 14. 128 15.
16.

三、解答题（70分）

17．解：（1）∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac．又a2－c2＝ac－bc，∴b2+c2－a2＝bc．

在△ABC中，由余弦定理得cosA＝
＝
＝
，∴∠A＝60°…（6分）

（2）解法一：在△ABC中，由正弦定理得sinB＝
，∵b2＝ac，∠A＝60°，

∴
＝sin60°＝
．…（12分）

解法二：在△ABC中，由面积公式得
bcsinA＝
acsinB

∵b2＝ac，∠A＝60°，∴bcsinA＝b2sinB．∴
＝sinA＝
…（12分）

18.（1）解：由频率分布直方图，得：
=
,
=
…（2分）（2）解：设A1表示事件“日销售量高于100个”，A2表示事件“日销售量不高于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．P（A1）=0.30+0.20+0.10=0.6，P（A2）=0.15，故所求概率：P（B）=0.6×0.6×0.15×2=0.108．…（5分）（3）解：依题意，X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.6）．…（6分）P（X=0）=
P（X=1）=

P（X=2）=
P（X=3）=
…（10分）

∴X的分布列为

X

0

1

2

3



P

0.064

0.288

0.432

0.216



∴EX=3×0.6=1.8．…（12分）

19． 解：(1) 不论点E在何位置，都有BD⊥AE.

证明如下：由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2. …（1分） 连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. …（2分）∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，

∴BD⊥PC. …（3分）又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC. …（4分）∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC.∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE. …（5分）

(2) 解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF. …（6分）

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.

∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角（9分）．在Rt△ADE中，DF＝＝＝, ∴BF＝.又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝
，∴∠DFB＝， 即二面角D－AE－B的大小为.…（12分）

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．…（6分）则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，

从而
＝(0,1,0)，
＝(－1,0,1)，
＝(1,0,0)，
＝(0，－1,1)．

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

，

由

，取

由

，取
…（10分）

设二面角D－AE－B的平面角为θ，则
，…（11分）

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为 …（12分）

20(1)解法一:由题意得
,
,解得
,…（3分）

所以椭圆
的方程为
.………………………………………………4分

解法二:椭圆的两个焦点分别为
,

由椭圆的定义可得
,所以
,
,…（3分）

所以椭圆
的方程为
.………………………………………………4分

（2）解法一:由(1)可知
,设
,

直线
:
,令
,得
;直线
:
,令
,得
; …（6分） 设圆
的圆心为
,则

,

…（10分）

而
,所以
,所以
,

所以
,即线段
的长度为定值
.…………………………………………12分

解法二:由（Ⅰ）可知
,设
,

直线
:
,令
,得
;

直线
:
,令
,得
;…（6分）

则
,…（8分）而
,所以
,

所以
,…（10分）由切割线定理得
…（11分）

所以
,即线段
的长度为定值
.…………………………………………12分

21．解:（1）当
时，
，
.
.

又
，…1分∴曲线
在点
处的切线方程为
．…2分

（2）∵
，∴

.

因为
，
，于是当
时，
，当
时，
.

所以
在
上是增函数，在
上是减函数. …5分

所以
…6分

讨论函数
的零点情况如下．

①
，即
时，函数
无零点，在
上也无零点；…7分

②当
，即
时，函数
在
内有唯一零点
，而
，∴
在
内有一个零点；……9分

③当
，即
时，由于
，

，当
时，即
时，

，
，由单调性可知，函数
在
内有唯一零点
、在
内有唯一零点
满足，
在
内有两个零点； …10分

当
时，即
时，
，而且
，
由单调性可知，无论
还是
，
在
内有唯一的一个零点，在
内没有零点，从而
在
内只有一个零点；…12分

综上所述，有：当
时，函数
无零点；当
或
时，函数
有一个零点；当
时，函数
有两个零点.

22. 证明：（1）连结AE，BC，∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°，∠ACB=90°∵MN=MC，

∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC，∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB，

∵∠EAC=∠EBC，∴∠ MBC=∠MCB，∴MB=MC∴MN=MB． ………5分

（2）设OC∩BE=F，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB

由(1)知，∠MBC=∠MCB，∴∠DBM=∠FCM．又∵∠DMB=∠FMC

∴∠MDB=∠MFC，即∠MFC=90°∴OC⊥MN． …………10分

23．解：圆
的极坐标方程为
，圆
的极坐标方程为
，

解
得
，故圆
与圆
交点的坐标为
…5分

注：极坐标系下点的表示不唯一

（2）（解法一）由
，得圆
与圆
交点的直角坐标为

故圆
与圆
的公共弦的参数方程为
（或参数方程写成
） … 10分

（解法二）将
代入
，得
，从而

于是圆
与圆
的公共弦的参数方程为

24.解：(1)由
得
，

即
………5分

（2）由(Ⅰ)知
令

则

∴
的最小值为4，故实数
的取值范围是
．………10分

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