惠州市2016届高三第三次调研考试

数 学（理科）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
，
，若
，则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．
或

2．复数
（
为虚数单位）的共轭复数为（ ）

A．
B．
C．
D．

3．若函数
的定义域是
，则函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知

，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．已知圆
：
上到直线
的距离等于1的点至少有2个，

则
的取值范围为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利
周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（ ）种。

A．
B．
C．
D．

7．已知向量
与向量
共线，其中
是
的内角，

则角
的大小为（ ）

A.
B.
C.
D.

8．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的
的值是（ ）

A．1007 B．2015

C．2016 D．3024

9．若双曲线
与直线
无交点，则离心率
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（ ）

A．
B．4 C．
D．

11．设实数
满足条件
，若目标函数
的最大值为12，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

12．若函数
满足：在定义域
内存在实数
，使得
成立，则称函数
为“1的饱和函数”。给出下列四个函数：

①
； ②
； ③
； ④
．

其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）

A．①③ B．②④ C．①② D．③④

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知
，则二项式
的展开式中
的系数为 ．

14．已知向量
，向量
．若向量
在向量
方向上的投影为3，

则实数
＝ ．

15．设数列
的前
项和为
，且
，
为等差数列，

则数列
的通项公式
．

16．设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
的最小值为 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

如图所示，在四边形
中，
=
，且
，
，
．

（Ⅰ）求△
的面积；

（Ⅱ）若
，求
的长．

18．（本小题满分12分）

某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的。

（Ⅰ）求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；

（Ⅱ）用
表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求
的分布列和数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，
，
分别是
的中点。

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）取
，若
为
上的动点，
与面
所成最大角的正切值为
，求二面角
的余弦值。

20．（本小题满分12分）

已知中心在原点的椭圆
的一个焦点为
，

点
为椭圆上一点，
的面积为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于
的直线
，使得直线
与椭圆
相交于
两点，且以线段
为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出
的方程，若不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若存在
，使得
（
是自然对数的底数），

求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，正方形
边长为2，以
为圆心、
为半径的圆弧与以
为直径的半圆
交于点
，连结
并延长交
于点
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求
的值。

23．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

已知曲线
的参数方程是
（
为参数），直线
的极坐标方程为
．（其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐标系
轴正半轴重合，单位长度相同。）

（Ⅰ）将曲线
的参数方程化为普通方程，将直线
的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设
是直线
与
轴的交点，
是曲线
上一动点，求
的最大值。

24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数
．

（Ⅰ）求不等式
的解集；

（Ⅱ）对任意
，都有

成立，求实数
的取值范围。

惠州市2016届高三第三次调研考试

数 学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

C

B

A

B

C

D

D

C

D

B



1．【解析】由题意得，
或
，解得
或
，故选D．

2．【解析】因为
，所以由共轭复数的定义知，其共轭复数为
，故应选
．

3．【解析】根据题意有：
，所以
，所以定义域为
．故选C．

4．【解析】因为

，两边平方可得：
，即
，所以
，又因为
，所以
，所以
，所以
，故应选
．

5．【解析】由圆的方程可知圆心为
，半径为2．因为圆上的点到直线
的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线
的距离
，即
，解得
．故A正确．

6．【解析】甲乙相邻用捆绑法，所以
，故应选
．

7．【解析】
∥
,

,

所以
，故应选C．

8.【解析】此程序框图表示的算法功能为求和，用分组方式，常数项1共2016个，和为2016；余弦值四个一组，每组和为2，共504组，
，故选D．

9．【解析】由题意可得，
，故
，再根据 e＞1，可得e 的取值范围，故选D．

10．【解析】如图，该几何体是正方体中的
，正方体的棱长为2，四面体
的四个面的面积分别为
，最大的为
．故应选C．

11．【解析】画出不等式表示的平面区域，当直线
过直线
与直线
的交点
时，目标函数
取得最大12，即
，则

。当且仅当
时取等号。故选D．

12．【解析】对于①，若存在实数
，满足
，则
所以
，显然该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数
，满足
，则
，解得
，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数
，满足
，则

，化简得
，显然该方程无实根，因此不是“1的饱和函数”；对于④，注意到
,
，即
，因此是“1的饱和函数”，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④，故选B

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．
14．
15．
16．

13.【解析】因为
,
，

令
，解得
，则展开式中
的系数为
．

14 .【解析】根据投影的定义可知

．

15.【解析】当
时，
；

当
时，
，所以数列
是以4为首项，4为公差的等差数列，所以
即
①，当
时
②，①-②得并整理得：
，

所以有
，…，
，

所以
，

当
时，适合此式，所以
．

16．【解析】函数
和函数
互为反函数图像关于
对称，则只有直线
与直线
垂直时
才能取得最小值。设
，则点
到直线
的距离为
，令
，则
，

令
得
；令
得
，

则
在
上