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揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)

本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.

4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
，
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

2．已知复数
满足
，则

(A)
(B)
(C)
(D)

3．已知向量
，则

(A) 8 (B)5 (C) 4 (D)
【来源：全,品…中&高*考*网】

4．若方程
在区间
有解，则函数
的图象可能是

5．在等差数列
中，已知
则此数列的公差为

(A)
(B)3 (C)
(D)
【来源：全,品…中&高*考*网】

6．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数
，则不等式
成立的概率是

(A)
(B)
(C)
(D)

7．抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离是

(A)  (B) (C) 1 (D)

8．函数
的最大值和最小正周期分别为

(A)
(B)
(C)
(D)

9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描

述汽车价值变化的算法流程图，则当
时，最后输出的S为

(A)
(B)
(C)
(D)

10．已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1 D1在一半球底

面上，且A、B、C、D四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为

(A)
(B)
(C)
(D)

11．已知抛物线
：
的焦点为
，准线为
，
是
上一点，
是直线

与
的一个交点，若
，则
=

(A)3 (B)4 (C)6 (D)8

12．若关于
的方程
在
内有两个不同的实数解,则实数
的取值范围为

(A)
或
(B)
(C)
(D)
或

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．

13． 已知
，则
．

14．设变量
，
满足约束条件
，则

的最小值为 ．

15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是

一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截

去部分的几何体的表面积为 ．

16．数列
的通项公式
，其前

项和为
，则
等于 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知
分别是
内角
的对边，且
.

（I）求
的值；

（II）若
，
，求
的面积．

18．（本小题满分12分）

某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为

.

（Ⅰ）求直方图中
的值；

（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，

若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；

（Ⅲ）设
表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的

时间，且已知
，求事件“
”的概率.

19．（本小题满分12分）

如图4，在三棱柱ABC -A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的

等边三角形，D为AB中点．

(Ⅰ)求证：BC1∥平面A1CD；

(Ⅱ)若四边形CB B1C1是正方形，且

求多面体
的体积.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在原点，焦点在
轴上，且长轴的长为4，离心率等于
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若椭圆
在第一象限的一点
的横坐标为1，过点
作倾斜角互补的两条不同的直线
，
分别交椭圆
于另外两点
，
，求证：直线AB的斜率为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
曲线
在点
处的切线方程为

（Ⅰ）求
、
的值；

（Ⅱ）当
且
时，求证：

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图5，四边形ABCD内接于
，过点A作
的切线EP交CB

的延长线于P，已知
．

（I）若BC是⊙O的直径，求
的大小；

(II）若
，求证：
．

23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，已知直线
的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是
．

（Ⅰ）写出直线
的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，求
的值.

24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）解不等式
；

（Ⅱ）若
,求证：

揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试

数学(文科)参考答案及评分说明

一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数．

一、选择题：BCADAC DBCACD

解析：

9.依题意知，设汽车
年后的价值为
,则
，结合程序

框图易得当
时，
．

10. 设半球的半径为
，依题意可得
，解得
，

所以此半球的体积为
.

11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：

.

12. 令
则
，关于
的方程
在
内有两个不同的实数解等价于方程
在
上有唯一解
或
，解得
或
.[或方程
在
上有唯一解等价于直线
与关于
的函数
，
图象有唯一交点，结合图象易得．

二、填空题：13.
；14. -8；15.
；16.687．

解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为

.

16.

三、解答题：

17．解：（I）∵
、
为
的内角，

由
知
，结合正弦定理可得：

------------------------------------------------------------3分

,-----------------------------------------------------------------4分

∵
∴
.--------------------------------------------------------5分

（II）解法1：∵
，
，

由余弦定理得：
，----------------------------------------7分

整理得：
解得：
或
（不合舍去）--------------------------9分

∴
，由
得

的面积
．--------------------------------------12分

【解法2：由
结合正弦定理得：
，---------------------6分

∵
， ∴
, ∴
,-----------------------------7分

∴

=
----------------------------9分

由正弦定理得：
，-------------------------------------------------10分

∴
的面积
．------------------------------------12分】

18.解：（1）由
得
；-------------------2分

（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为
，--------------------3分

不少于1小时的频数为1200
，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分

（Ⅲ）由直方图知，成绩在
的人数为
人，设为
；------6分

成绩在
的人数为
人，设为
.---------------------------7分

若
时，有
三种情况；

若
时，只有
一种情况；-------------------------------------------8分

若
分别在
内时，则有
共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分

事件“
”所包含的基本事件个数有6种.

∴P（
）=
----------------------------------------------------12分

19.（I)证法1：连结AC1，设AC1与A1C相交于点E，连接DE，

则E为AC1中点，-------------------------------2分

∵D为AB的中点，∴DE∥BC1，------------------4分

∵BC1
平面A1CD，DE
平面A1CD，------------5分

∴BC1∥平面A1CD. -----------------------------6分

【证法2：取
中点
，连结