东莞市2015—2016学年度第一学期六校联考考试

高三数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数z满足
，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合
,
,则
（ ）

A．
　　 B．
C．
D．

3．如右图所示的程序框图，若输出的
，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．
B．
C．
D．

4．下列函数中既是奇函数，又在区间
上是增函数的为（ ）

A．
B．
C．
D．

5．设向量a,b满足
,
,则
=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．5

6．已知
的部分图象如图所示，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

7．钝角三角形ABC的面积是
,AB=1,BC=
,则AC=（ ）

A．1 B．2 C．
D．5

8．函数y＝ln的大致图象为（ ）

9．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A．40 cm3 B．30 cm3 C．20 cm3 D．10 cm3

10．已知斜率为2的直线
双曲线
交
两点，若点
是
的中点，则
的离心率等于（ ）

A．
B．2 C．
D．

11．当
时,函数
的（ ）

A．最大值是
，最小值是
B．最大值是
，最小值是

C．最大值是
，最小值是
D．最大值是
，最小值是

12．设
，若方程f(x)=kx-
恰有四个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）

A．
) B．（2,e） C．（
,2） D．
）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．若
,
满足不等式组
，则
的最大值是

14．如图，一不规则区域内，有一边长为
米的正方形，向区域内随机地撒
颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）

15．已知二项式
的展开式中的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项是__ ____

16．已知
为△ABC的三个内角
的对边，向量
，
.若
，且
，则角
＝ .

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本题满分12分）

已知等差数列
的前
项和为
,公差
，
.

（1）求
；

（2）若
,求数列
的前
项和为
．

18．（本题满分12分）

某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；

（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为
，求
的分布列及数学期望
．

19．（本题满分12分）

如图，三棱锥
中，
底面
，
，
，
为
的中点，点
在
上，且
.

（1）求证：
平面
；

（2）求平面
与平面
所成的二面角的平面角

（锐角）的余弦值.

20．（本题满分12分）

已知抛物线

的焦点
以及椭圆

的上、下焦点及左、右顶点均在圆
上．

（1）求抛物线
和椭圆
的标准方程；

（2）过点
的直线交抛物线
于
两不同点，交
轴于点
，已知
，
，求
的值.

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图,已知
是圆
的切线,
为切点,
是圆
的割线,与圆
交于
两点,圆心
在
的内部,点
是
的中点．

（Ⅰ）证明
四点共圆；

（Ⅱ）求
的大小．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的参数方程为
（θ为常数）．

（1）求直线l和圆C的普通方程；

（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
,其中
。

（Ⅰ）当
时,求不等式
的解集

（Ⅱ）若不等式
的解集为
,求a的值。

2016届高三第一学期六校联考考试

高三数学（理科）答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

B

C

A

D

C

A

C

D

B

A





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．9 14．
15．240 16．

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．解(1)
,
，
…………………………………………2分

,即
…………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………………4分

(2)
…………………7分

……………10分

即
……………………………………………………………………12分

18．解：（I）利用中值估算抽样学生的平均分：

45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分）

众数的估计值为75分 ……………（5分）

所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分）

（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）

（II）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是
，

有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），

这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是
，

两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率
……………（8分）

随机变量
的可能取值为0、1、2、3，则有．

∴

∴变量
的分布列为：

0

1

2

3



P











 …………（10分）

…………（12分）

解法二. 随机变量
满足独立重复试验,所以为二项分布, 即
………（10分）

…………（12分）

19（1）证明：∵
底面
，且
底面
， ∴
………1分

由
，可得
………………………2分

又

，∴
平面
………………3分

注意到
平面
， ∴
…………………4分

,
为
中点，∴
………………5分

，
平面
…………………………6分

（2）如图，以
为原点、
所在直线为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系.

则
…………………………7分

. ………………8分

设平面
的法向量
.

由
得
，

即
……………（1）

……………（2）

取
，则
，
. …10分

取平面
的法向量为
………11分

则
，

故平面
与平面
所成角的二面角（锐角）的余弦值为
. ………12分

20．解：（1）由抛物线
的焦点
在圆
上得：

，
，

∴抛物线

同理由椭圆上、下焦点
及左、右顶点
均在圆
上可解得：
．

得椭圆
．

（2）设直线
的方程为
，则
．

联立方程组
，消去
得：

且

由
得：

整理得：

．

21. 解（1）
， ……… 1分

， ……… 2分

当
时，
，所以
在
上单调递减，……… 3分

当
时，
，所以
在
上单调递增，……… 4分

所以
的单调区间有
，
； ……… 5分

（2）证明：设
， ……… 6分

……… 7分

由（1）知
有极小值

， ……… 8分

，

， ……… 9分

，

所以
在
上单调递增， ……… 10分

所以当
时，
， ……… 11分

所以
，即
. ………12分

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（Ⅰ）证明:连结
．因为
与圆
相切于点
,所以
．因为
是圆
的弦
的中点,所以
．于是
．由圆心
在
的内部,可知四边形
的对角互补,所以
四点共圆．

（Ⅱ）解:由（Ⅰ）得
四点共圆,所以
．

由（Ⅰ）得
．

由圆心
在
的内部,可知
．

所以
．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

解：（1）直线l的普通方程为：

圆C的普通方程为：

，

24。（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

解:（Ⅰ）当
时,
可化为
。

由此可得
或
。

故不等式
的解集为

(Ⅱ)由
得，

此不等式化为不等式组
或

所以

所以