黄浦区2015学年度第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷（理科） 2016年1月

考生注意：

1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行并在规定的位置书写，写在试卷、草稿纸上的解答一律无效；

2．答卷前，考生务必将学校、姓名、准考证号等相关信息填写清楚，并贴好条形码；

3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直

接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．不等式
的解集用区间表示为 ．

2．函数
的最小正周期是 ．

3．直线
的一个方向向量可以是 ．

4．若将两个半径为
的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．

5．若无穷等比数列中的任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为 ．

6．若函数
在区间
上有且只有一个零点，则
．

7．若函数
为偶函数且非奇函数，则实数
的取值范围为 ．

8．若对任意不等于
的正数
，函数
的反函数的图像都过点
，则点
的坐标是 ．

9．在
的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为
，则二项式系数的最大值为

（结果用数字作答）．

10．在△
中，若
，且
，则
．

11．为强化安全意识，某学校拟在未来的连续
天中随机抽取
天进行紧急疏散演练，那么选择的
天恰好为连续
天的概率是 （结果用最简分数表示）．

12．已知
，若曲线
与曲线
无交点，则
．

13．已知点
（
）和抛物线
：
，过
的焦点
的直线与
交于
、
两点，若
，且
，则
．

14．若非零向量
，
，
满足
，且
，则
与
的夹角为 ．

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．已知复数
，“
”是“
为纯虚数”的 [答] ( B )．

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

16．已知
，下列不等式中正确的是 [答] ( C )．

A．
B．

C．
D．

17．已知
为直线
上一动点，若点
与原点均在直线
的同侧，则
、
满足的条件分别为 [答] ( A )．

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

18．已知
，
，
，
是各项均为正数的等差数列，其公差
大于零．若线段
，
，
，
的长分别为
，
，
，
，则 [答] ( C )．

A．对任意的
，均存在以
，
，
为三边的三角形

B．对任意的
，均不存在以
，
，
为三边的三角形

C．对任意的
，均存在以
，
，
为三边的三角形

D．对任意的
，均不存在以
，
，
为三边的三角形

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

已知三棱柱
的底面为直角三角形，两条直角边
和
的长分别为4和3，侧棱
的长为10．

（1）若侧棱
垂直于底面，求该三棱柱的表面积．

（2）若侧棱
与底面所成的角为
，求该三棱柱的体积．

[解]（1）因为侧棱
底面
，所以三棱柱的高
等于侧棱
的长，

而底面三角形
的面积
，（2分）

周长
，（4分）

于是三棱柱的表面积
．（6分）

（2）如图，过
作平面
的垂线，垂足为
，
为三棱柱的高．（8分）

因为侧棱
与底面所成的角为
，所以
，可计算得
．（9分）

又底面三角形
的面积
，故三棱柱的体积
．（12分）

20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．

如图，已知点
是单位圆上一点，且位于第一象限，以
轴的正半轴为始边、
为终边的角设为
，将
绕坐标原点逆时针旋转
至
．

（1）用
表示
、
两点的坐标；

（2）
为
轴上异于
的点，若
，求点
横坐标的取值范围．

[解]（1）由题设，
点坐标为
，（2分）

其中
（
）．（3分）

因为
，所以
点坐标为
，即
．（5分）

（2）设
（
），于是
，
，

因为
，所以
，即
，（8分）

整理得
，由
，得
，（10分）

此时
，且
，于是
，且
（
）得
，且
．

因此，点
横坐标的取值范围为
．（12分）

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

　 如图，某地要在矩形区域
内建造三角形池塘
，
、
分别在
、
边上．
米，
米，
，设
，
．

（1）试用解析式将
表示成
的函数；

（2）求三角形池塘
面积
的最小值及此时
的值．

[解]（1）直角三角形
中，
，直角三角形
中，
．

正方形
中，由
，得
，于是
，

代入并整理得
．（4分）

因为
，
，所以
，从而
．（6分）

因此，
（
）．

（2）

，（8分）

将
代入上式，得
，（10分）

当
时，
，当且仅当
时，上式等号成立．（12分）

因此，三角形池塘
面积的最小值为
平方米，此时
米．（14分）

22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知椭圆
：
（
），过原点的两条直线
和
分别与
交于点
、
和
、
，得到平行四边形
．

（1）当
为正方形时，求该正方形的面积
．

（2）若直线
和
关于
轴对称，
上任意一点
到
和
的距离分别为
和
，当
为定值时，求此时直线
和
的斜率及该定值．

（3）当
为菱形，且圆
内切于菱形
时，求
，
满足的关系式．

[解]（1）因为
为正方形，所以直线
和
的方程为
和
．（1分）

点
、
的坐标
、
为方程组
的实数解，

将
代入椭圆方程，解得
．

根据对称性，可得正方形
的面积
．（4分）

（2）由题设，不妨设直线
的方程为
（
），于是直线
的方程为
．

设
，于是有
，又
，
，（6分）
，将
代入上式，

得
，（8分）

对于任意
，上式为定值，必有