静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测

理科数学试卷

（试卷满分150分 考试时间120分钟） 2016.1

考生注意：

本试卷共有23道题，答题前，请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.已知抛物线
的准线方程是
，则
.

2.在等差数列
（
）中 ，已知公差
，
，则
.

3. 设
,且
，则
的取值范围是 .

4. 已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm3.

5.方程
的解为 .

6.直线
关于直线
对称的直线方程是 .

7.已知复数
满足
,其中
为虚数单位,则
.

8.
的展开式中项
的系数等于 .(用数值作答)

9.在产品检验时，常采用抽样检查的方法.现在从100件产品(已知其中有3件不合格品)中任意抽出4件检查，恰好有2件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答)

10.经过直线
与圆
的两个交点，且面积最小的圆的方程是 .

11.在平面直角坐标系
中，坐标原点
、点
，将向量
绕点
按逆时针方向旋转
后得向量
，则点
的横坐标是 .

12.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若△ABC的面积
，则
. (用数值作答)

13. 已知各项皆为正数的等比数列
（
），满足
，若存在两项
、
使得
，则
的最小值为 .

14. 在平面直角坐标系
中，将直线
沿
轴正方向平移3个单位, 沿
轴正方向平移5个单位,得到直线
.再将直线
沿
轴正方向平移1个单位, 沿
轴负方向平移2个单位,又与直线
重合.若直线
与直线
关于点
对称,则直线
的方程是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.组合数
恒等于( )

A.
B.
C.
D.
16.函数
的反函数是 ( )

A．
B．

C．
D．

17.已知数列
的通项公式为
，则
( ) A．
B．0 C．2 D．不存在

18.下列四个命题中，真命题是 ( )

A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;

B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;

C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;

D．若a、b是异面直线, b、c是异面直线,则a、c是异面直线.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．

如图，在棱长为1的正方体
中，E为AB的中点. 求：

(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值；

(2)点A到平面
的距离.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.

李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.

(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)

(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

设P1和P2是双曲线
上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.

(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=
；

(2)若双曲线的焦点分别为
、
，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为
，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.

22．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分.

在平面直角坐标系
中，点
在
轴正半轴上，点
在
轴上，其横坐标为
，且
是首项为1、公比为2的等比数列，记
，
．

(1)若
，求点
的坐标；

(2)若点
的坐标为
，求
的最大值及相应
的值．

23．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

已知定义在实数集R上的偶函数
和奇函数
满足
.

(1)求
与
的解析式；

(2)若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数
，当
时，
，试求
在闭区间
上的表达式，并证明
在闭区间
上单调递减；

(3)设
（其中m为常数），若
对于
恒成立，求m的取值范围.

静安区2015学年高三年级第一学期期末教学质量检测

理科数学试卷参考答案及评分标准 2016.01

说明

1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．

4．给分或扣分均以1分为单位．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1.
1 2．2025 3.
.

4. 12288( 5.
6.

7.
8.
9. 13968

10.
11.
12.

13.
14.
.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15.D 16.B 17.A 18.C

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19． 如图，在棱长为1的正方体
中，E为AB的中点。

（1）求异面直线BD1与CE所成角的余弦值；

(2)求点A到平面
的距离。

解（1）延长DC至G，使CG= DC,连结BG、

，∴四边形EBGC是平行四边形.

∴BG∥EC. ∴

在

即异面直线 与CE所成角的余弦值是

（2）过 作 交CE的延长线于H.连结AH. 底面ABCD如图所示.

由于∠AHE=∠B=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE

设点A到平面
的距离为
，则由三棱锥体积公式可得：
，即
。所以
，

即点A到平面
的距离为
。

20． 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业，万众创新”. 某创客，白手起家，2015年一月初向银行贷款十万元做创业资金，每月获得的利润是该月初投入资金的20%.每月月底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额（包括本金和利润）的10%，每月的生活费等开支为3000元，余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续.

(1)问到2015年年底(按照12个月计算)，该创客有余款多少元？(结果保留至整数元)

(2)如果银行贷款的年利率为5%，问该创客一年(12个月)能否还清银行贷款？

解法1：（1）设
个月的余款为
，则

，

，

。。。。。。

，

=
（元），

法2：
，

一般的，
，

构造
，

，

。

（2）194890-100000(1.05=89890（元），

能还清银行贷款。

21．设P1和P2是双曲线
上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.

(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=
；

(2)若双曲线的焦点分别为
、
，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为
，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.

(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为
，代入双曲线
方程得：
.

设 P1坐标为
，P2坐标为
，中点坐标为M (x,y),则
，
，

，所以，
，k1k2=
。

另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则
且

（1）-（2）得：
。

因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)(0，

等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：

即 k1k2=
。…………6分

（2）由已知得
,求得双曲线方程为
，

直线P1 P2斜率为

，

直线P1 P2方程为
,

代入双曲线方程可解得
(中点M坐标为
.

面积
.

另解: 线段P1 P2中点M在直线
上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为
,代入双曲线方程可得
,即
，解得
（
），所以
。面积
.

22． 在平面直角坐标系
中，点
在
轴正半轴上，点
在
轴上，其横坐标为
，且
是首项为1、公比为2的等比数列，记
，
．

（1）若
，求点
的坐标；

（2）若点
的坐标为
，求
的最大值及相应
的值．

解：（1）设
，根据题意，
．

由
，知
，

而
，

所以
，解得
或
．故点
的坐标为
或
．

（2）由题意，点
的坐标为
，
．

．

因为
，所以
，

当且仅当
，即
时等号成立．

易知
在
上为增函数，

因此，当
时，
最大，其最大值为
．

23．已知定义在实数集R上的偶函数
和奇函数
满足
.

（1）求
与
的解析式；

（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数
,当
时,
,试求
在闭区间
上的表达式,并证明