松江区2015学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟） 2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．已知全集
，
是
的子集，满足
，
，则集合
= ▲ ．

2．若复数
（i是虚数单位）的模不大于2，则实数a的取值范围是 ▲ ．

3．行列式

的值是 ▲ ．

4．若幂函数
的图像过点
，则
= ▲ ．

5．若等比数列
满足
，且公比
，则
▲ ．

6．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为
、
则有
▲ ．

7．如图所示的程序框图，输出的结果是 ▲ ．

8．将函数
图像上的所有点向右平移
个单位，再将图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），则所得图像的函数解析式为 ▲ ．

9．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球， 2只黑球从中一次性随机摸出2只球则恰好有1只是白球的概率为 ▲ （结果用数值表示）．

10．在
中，内角
、
、
所对的边分别是
、
、
. 已知
，
，则
= ▲ ．

11．若
展开式的第4项为
，则
▲ ．

12．已知抛物线
的准线为
，过
且斜率为
的直线与
相交于点
，与抛物线
的一个交点为
．若
，则
▲ ．

13．已知正六边形
内接于圆
，点
为圆
上一点，向量
与
的夹角为
（
），若将
从小到大重新排列后恰好组成等差数列，则该等差数列的第3项为 ▲ ．

14．已知函数
，对任意的
，恒有
成立， 且当
时，
. 则方程
在区间
上所有根的和为 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15．已知双曲线
的右焦点与抛物线
的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为

16．设
，则“
”是“
”的

充分而不必要条件
必要而不充分条件

充要条件
既不充分也不必要条件

17. 在正方体
中，
、
分别是棱
、
的中点，
、
分别是线段
与
上的点，则与平面
平行的直线
有

0条
1条
2条
无数条

18．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”. 已知数列1，2. 第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2； 那么第10次“H扩展”后得到的数列的所有项的和为

88572
88575
29523
29526

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，
,
分别是
的中点．

（1）求三棱锥
的体积；

（2）若异面直线
与
所成的角为
，求
的值.

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知函数
．

（1）当
时，求函数 f (x)的值域；

（2）求函数 y = f (x)的图像与直线 y =1相邻两个交点间的最短距离．

21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

在一次水下考古活动中，潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业．其用氧量包含以下三个方面：①下潜时，平均速度为每分钟
米，每分钟的用氧量为
升；②水底作业需要10分钟，每分钟的用氧量为0.3升；③返回水面时，速度为每分钟
米，每分钟用氧量为
升；设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为
升．

（1）将
表示为
的函数；

（1）若
，求总用氧量
的取值范围．

22．（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

在平面直角坐标系
中，
为坐标原点，C、D两点的坐标为
, 曲线
上的动点P满足
．又曲线
上的点A、B满足
．

（1）求曲线
的方程；

（2）若点A在第一象限，且
，求点A的坐标；

（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

对于数列
，称
（其中
）为数列
的前k项“波动均值”.若对任意的
，都有
，则称数列
为“趋稳数列”．

（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求
的取值范围；

（2）若各项均为正数的等比数列
的公比
，求证：
是“趋稳数列”；

（3）已知数列
的首项为1，各项均为整数，前
项的和为
. 且对任意
，都有
， 试计算：
（
）．

松江区2015学年度第一学期高三期末考试

数学（理科）试卷参考答案 2016.1

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．
． 2．
． 3．
． 4．
． 5．
．

6．
． 7．
． 8．
． 9．
． 10．
．

11．
． 12．
． 13．
． 14．
．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．A． 16．B． 17．D． 18．B．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分

解： (1)由已知得，
……………………2分

所以 ，体积
……………………5分

(2)取
中点
，连接
，则
，

所以
就 是异面直线
与
所成的角
. ……………………8分

由已知，
，

. ……………………10分

在
中，
，

所以，
. ……………………12分

20．（满分14分）本题有3小题，第1小题7分，第2小题3分，第,3小题4分．

解：（1）


……………………4分

当
时，
，所以
的值域为
……7分

（2）
∴
，……………………9分

或
，
……………………12分

∴当
时，两交点的最短距离为
……………………14分

21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

解：（1）下潜所需时间为
分钟；返回所需时间为
分钟 …………2分

∴
…………5分

…………6分

（2）
，当且仅当
，即
时取等号. …8分

因为
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增

所以
时，
取最小值7 …………11分

又
时，
；
时，
， …………13分

所以
的取值范围是
． …………14分

22.（本题满分16分，第1小题3分，第2小题中5分、第2小题8分）

解（1）由
，
知，曲线E是以C、D为焦点，长轴
的椭圆， ……………… 1分

设其方程为
，则有
，

∴曲线E的方程为
……………… 3分

（2）设直线OA的方程为
，则直线OB的方程为

由
得
，解得
.………………4分

同理，由则
解得
. ………………5分

由
知
，

即
………………6分

解得
，因点A在第一象限，故
， ………………7分

此时点A的坐标为
………………8分

（3）设
，
，

当直线AB平行于坐标轴时，由
知A、B两点之一为
与椭圆的交点，

由
解得
此时原点到直线AB的距离为
…10分

当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程
，

由
得
………………12分

由
得

即

因
………………14分

代入得
即
……15分

原点到直线AB的距离
………………16分

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解：（1）由题意
，即
………………2分

解得
………………4分

（2）由已知，设
，因
且
，故对任意的