浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试

高三数学试卷 （含答案） 2016.1

注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚.

2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.

一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.

注：填写其他等价形式则得分

1．已知集合
，则

2．已知向量
平行，则

3．关于
的一元二次方程组
的系数矩阵

4．计算：

5．若复数
满足
（
为虚数单位），则

6．
的二项展开式中的第八项为

7．某船在海平面
处测得灯塔
在北偏东
方向，与
相距
海里.船由
向正北方向航行
海里达到
处，这时灯塔
与船相距_____
______海里（精确到0.1海里）

8．已知
，则

9．如图，已知正方体
，
，
为棱
的中点，则
与平面
所成的角为
．（
，
）（结果用反三角表示）

10．已知函数
的图像与
的图像关于直线
对称，令
，则关于函数
有下列命题：

①
的图像关于原点对称； ②
的图像关于
轴对称；

③
的最大值为
； ④
在区间
上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。

11．有一列向量
：
如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列。已知等差向量列
，满足
，
，那么这列向量
中模最小的向量的序号
__
或
__。

12．已知
则
与
图像交点的横坐标之和为__17___.

二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.

13．如果
，那么下列不等式中不正确的是…………………………………（ B ）

14．设
且
，
，
是
成立的…………………………（ A ）

充分非必要条件
必要非充分条件

充要条件
既非充分又非必要条件

15．方程
表示焦点在
轴的椭圆，则实数
的取值范围是…………（ D ）

16．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是…………（ C ）

17．直线
与圆
的位置关系是………………………（ B ）

相交
相切
相离
不能确定

18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为
，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则
的值为……………………………………………………（ A ）

4
3
2
1

19．设函数
满足
，当
时，
，则
……………………………………………………………………………………（ A ）

20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是
，那么圆柱的体积等于…………… ( D )

21．已知函数
存在反函数
，若函数
过点
，则函数
恒过点…………………………………………………………………………………………（ B ）

22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的
处，再自由落下，又弹回到上一次高度的
处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为……………………………………………………………………………………………（ C ）

50
80
90
100

23．符合以下性质的函数称为“
函数”：①定义域为
，②
是奇函数，③
（常数
），④
在
上单调递增， ⑤对任意一个小于
的正数
，至少存在一个自变量
，使
。下列四个函数中
，
，
，
中“
函数”的个数为…………（ D ）

1个
2个
3个
4个

24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点
，其中
分别为点
到两个顶点的向量. 若将点
到正六角星12个顶点的向量，都写成为
的形式，则
的最大值为（ C ）

3
4
5
6

三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．

注：其他解法相应给分

25．（本题满分8分）

已知
交与点
，
，
分别为
的中点.

求证：
平面
．

证明：在
中，因为
分别为
的中点，所以
……………………………………………………………………………2分

又因为
，所以由平行公理和等量代换知，
，

所以四边形
是平行四边形……………………………………………………4分

所以
…………………………………………………………………………6分

又因为
平面
，所以
平面
…………………………………8分

26．（本题满分8分）

已知函数
,将函数
的图像向右平移
个单位，再把横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），得到函数
的图像，求函数
的解析式，并写出它的单调递增区间．

解：由
，将函数
的图像向右平移
个单位，得
……2分

再把横坐标缩短到原的
（纵坐标不变），得到
。…………………4分

由
，可得

所以
的单调递增区间为
………………………………8分

27．（本题满分8分，第1小题4分、第2小题4分）

已知两个向量

（1）若
，求实数
的值；

（2）求函数
的值域。

解：（1）

经检验
为所求的解；………………………………………………4分

（2）由条件知

所以值域为
。………………………………………………………………8分

28．（本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)

已知数列
的前
项的和
，

（1）求
的通项公式
；

（2）当
时，
恒成立，求
的取值范围.

解: （1）

…………………………………………2分

当
时也成立,

（2）

设

的最小值为
,
.

29．（本题满分14分，第1小题4分、第2小题5分、第3小题5分）

在平面直角坐标系
中，对于点
、直线

，我们称
为点
到直线

的方向距离。

（1）设椭圆
上的任意一点
到直线
的方向距离分别为
，求
的取值范围。

（2）设点
、
到直线
：
的方向距离分别为