闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（理科）　2016.01

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格

内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数
满足
（
为虚数单位），则
.2

2．若全集
，函数
的值域为集合
，则
.

3．方程
的解为 .

4．函数
的最小正周期
= .

5．不等式
的解集为 .

6．若一圆锥的底面半径为
，体积是
，则该圆锥的侧面积等于 .

7．已知
中，
，
，其中
是基本单位向量，则
的面积为 .

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.10

9．若
是等差数列
的前
项和，且
，则
. 5

10．若函数

满足
，且
在
上单调递增，则实数
的最小值等于 . 1

11．若点
、
均在椭圆

上运动，
是椭圆
的左、右焦点，则
的最大值为 .

12．已知函数
，若实数
互不相等，且满足
，则
的取值范围是 .

13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
（
）,则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道
，若令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得
的近似分数为 .

14．已知数列
的前
项和为
，对任意
，
且
恒成立，则实数
的取值范围是 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．若
，且
，则“
”是“
等号成立”的（ A ）.

(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件

(C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件

16．设
，则其反函数的解析式为（ C ）.

(A)
(B)

(C)
(D)

17．
的内角
的对边分别为
，满足
，则角
的范围是（ B ）.

(A)
(B)
(C)
(D)

18．函数
的定义域为
，图像如图1所示；函数
的定义域为
，图像如图2所示.
,
,则
中元素的个数为（ C ）.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19.（本题满分12分）

如图，三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
,
，
为棱
中点，证明异面直线
与
所成角为
，并求三棱柱
的体积．

[证明]
在三棱柱
中，侧棱
底面
，
，
或它的补角即为异面直线
与
所成角，…………………………2分

由
，
,
以及正弦定理得
，
即
，…………4分

又
，
，…………6分

………………8分

所以异面直线
与
所成角的为
．…………………… 10分

三棱柱
的体积为
． …………12分

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点
、
分别是角
、
的终边与单位圆的交点，
．

（1）若
，
，求
的值；

（2）证明：
．

[解]（1）方法一:

，

=
…3分

，即
， ………………………………6分

． ………………………………8分

方法二:

，
，即
， …………3分

，两边平方得，
……………………………6分

． …………………………………8分

（2）[证明]由题意得，
，

=

………………10分

又因为
与
夹角为
，

=
………………………12分

综上
成立． ……………………………14分

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路
、
，海岸边界
近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道
，且直线
与曲线
有且仅有一个公共点
（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段
是函数
图像的一段，点
到
、
的距离分别为
千米和
千米，点
到
的距离为
千米，以
、
分别为
轴建立如图所示的平面直角坐标系
，设点
的横坐标为
.

（1）求曲线段
的函数关系式，并指出其定义域；

（2）若某人从点
沿公路至点
观景，要使得沿折线
比沿折线
的路程更近，求
的取值范围.

[解]（1）由题意得
，则
，故曲线段
的函数关系式为
，4分

又得
，所以定义域为
. ……………………………6分

（2）
，设
由
得

，
, …………8分

，得直线
方程为
， ………10分

得
，故点
为
线段的中点，

由
即
…………………………12分

得
时，
，所以，当
时，经点
至
路程最近. 14分

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．

已知椭圆
的中心在坐标原点，且经过点
，它的一个焦点与抛物线
的焦点重合．

（1）求椭圆
的方程；

（2）斜率为
的直线
过点
，且与抛物线
交于
两点，设点
，
的面积为
，求
的值；

（3）若直线
过点
（
），且与椭圆
交于
两点，点
关于
轴的对称点为
，直线
的纵截距为
，证明：
为定值.

[解]（1）设椭圆的方程为
，由题设得
，…2分

，
椭圆
的方程是
…………………………4分

（2）设直线
，由
得

与抛物线
有两个交点，
，
，

则
…………………………6分

到
的距离
，又