青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试

　　　　　　数学试题　　　Q.2016.01.05

（满分150分，答题时间120分钟）

学生注意：

本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

可使用符合规定的计算器答题．

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．方程组
的增广矩阵是_____________.

2．已知
是关于
的方程
的一个根，则实数
_____________.

3．函数
，若
，则实数
的取值范围是 .

4．已知函数
，
图像的一条对称轴是直线
，则
.

5．函数
的定义域为 .

6．已知函数
，若
，且
，则
的取值范围是 　 ．

7.已知
，
,

满足
，则实数
的取值范围是 .

8．执行如图所示的程序框图，输出结果为 .

9．平面直角坐标系中，方程
的曲线围成的封闭图形绕
轴旋转一周所形成的几何体的体积为 ．

10．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是
，记第二颗骰子出现的点数是
，向量
，向量
，则向量
的概率是 .

11．已知平面向量
、
、
满足
，且
，
，则
的最大值是 .

12．如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②
在原点，
在
点，
在
点，
在
点，
在
点，
在
点，，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“
”为中心的“桩”上，则放置数字
的整点坐标是 ．

13．设
的内角
、
、
所对的边
、
、
成等比数列，则
的取值范围_______．

14．若函数
是定义在
上的奇函数，当
时
,

若对任意的
，
，则实数
的取值范围是________________．

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.
是“直线
与直线
相互垂直”的

………………………………………………………………………………………（ ）.

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16.复数
(
,
是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（ ）.

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

17．已知
是等比数列，给出以下四个命题：①
是等比数列；②
是等比数列；③
是等比数列；④
是等比数列，下列命题中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ）.

（A）
个 （B）
个 （C）
个 （D）
个

18．已知抛物线
与双曲线
有相同的焦点
，点
是两曲线的一个交点，且
轴，若
为双曲线一、三象限的一条渐近线，则
的倾斜角所在的区间可能是…………………………………………………………………（ ）.

（A）
（B）
（C）
（D）

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.

如图所示，在四棱锥
中，
，
∥
且
，
，点
为线段
的中点,若
，
与平面
所成角的大小为
.

（1）证明：
平面
；

（2）求四棱锥
的体积.

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

已知椭圆
的对称轴为坐标轴，且抛物线
的焦点
是椭圆
的一个焦点，以
为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切．

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知直线
与椭圆
交于
两点，且椭圆
上存在点
满足
，求
的值．

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分.

如图，有一块平行四边形绿地
，经测量
，
，拟过线段
上一点
设计一条直路
（点
在四边形
的边上，不计路的宽度），将绿地分为面积之比为
︰
的左右两部分，分别种植不同的花卉，设
，
．

（1）当点
与点
重合时，试确定点
的位置；

（2）试求
的值，使路
的长度
最短．

22.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题8分.

设数列
的所有项都是不等于
的正数，
的前
项和为
，已知点
在直线
上（其中常数
，且
）数列，又
．

（1）求证数列
是等比数列；

（2）如果
，求实数
的值；

（3）若果存在
使得点
和
都在直线在
上，是否存在自然数
，当
（
）时，
恒成立？若存在，求出
的最小值；若不存在，请说明理由．

23.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

已知函数
满足关系
，其中
是常数.

（1）设
，
，求
的解析式；

（2）设计一个函数
及一个
的值，使得
；

（3）当
，
时，存在
，对任意
，
恒成立，求
的最小值.

青浦区2015学年第一学期高三期终学习质量调研测试

参考答案及评分标准 2016.01

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．
； 2.
； 3．
； 4．
； 5．
6．
； 7．
； 8．
； 9.
； 10.
； 11．
； 12.
； 13.
； 14.
.

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.
；16.
； 17．
；18.
.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.

19. 解：（1）证明：
，
，

又
中，
，点
为线段
的中点，

（2）
，又
，
，

连结
，可得
是
与平面
所成角，又
与平面
所成角的大小为
，
， 在
中，
，

.分

20.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.

解：（1）因为抛物线
的焦点
是椭圆
的一个焦点，即

又椭圆
的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为
,且

又以
为圆心，以椭圆
的短半轴长为半径的圆与直线
相切

即
,所以椭圆
的方程是

（2）设
，

又
， 即
在椭圆
上,即

21.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题10分.

解：（1）

当点
与点
重合时，由已知
，

又
,
是
的中点

（2）①当点
在
上，即
时，利用面积关系可得
，

再由余弦定理可得
；当且仅当
时取等号

②当点
在
上时，即
时，利用面积关系可得
，

（ⅰ）当
时，过
作
∥
交
于
，在
中，

，利用余弦定理得

（ⅱ）同理当
，过
作
∥
交
于
，在
中，

，利用余弦定理得

由（ⅰ）、（ⅱ）可得