上海市闸北区2016届高三一模数学试卷

2015.12

一. 填空题（本大题共9题，每题6分，共54分）

1.
的展开式中常数项为 ；

2. 函数
的单调性为 ；奇偶性为 ；

3. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ；

4. 在菱形
中，
，
，
为
的中点，则
的值是 ；

5. 如图，靠山有一个水库，某人先从水坝的底部
测得水坝对面的山顶
的仰角为
，再沿坝面向上走
米到水坝的顶部
测得
，若坝面与水平面所成的锐角为
，则山高为 米；（结果四舍五入取整）

6. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ；（用数字作答）

7. 等差数列
的公差为
，关于
的不等式
的解集为
，则使数列

的前
项和
最大的正整数
的值是 ；

8. 过点
作圆
的切线，切点为
，如果
，那么
的

取值范围是 ；

9. 如图，正方形
的边长为2，
为
的中点，射线
从
出发，绕着点
顺时针方向旋转至
，在旋转的过程中，记
为

，
所经过的在正方

形
内的区域（阴影部分）的面积
，那么对于函数
有以下三个结论：

①
；② 对任意
，都有
；

③ 对任意
，且
，都有
；

其中所有正确结论的序号是 ；

二. 选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

10. “抛物线
的准线方程为
”是“抛物线
的焦点与双曲线

的焦点重合”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 已知
是两条不同直线，
是两个不同平面，给出下列四个命题：

① 若
垂直于同一平面，则
与
平行；

② 若
平行于同一平面，则
与
平行；

③ 若
不平行，则在
内不存在与
平行的直线；

④ 若
不平行，则
与
不可能垂直于同一平面

其中真命题的个数为（ ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

12. 已知
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足：
，
，
，

设
为
和
的夹角，则（ ）

A.
随着
的增大而增大

B.
随着
的增大而减小

C. 随着
的增大，
先增大后减小

D. 随着
的增大，
先减小后增大

三. 解答题（本大题共4题，共18+20+20+20=78分）

13. 如图，在平面直角坐标系
中，角
的顶点在原点，始边与
轴的非负半轴重合，

终边交单位圆于点
，且
，将角
的终边绕原点逆时针方向旋转
，交单位圆

于点
，过
作
轴于点
；

（1）若点
的纵坐标为
，求点
的横坐标；

（2）求△
的面积
的最大值；

14. 经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴；为迎接2015年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行

促销；经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量
（万件）与促销费用
（万元）

满足
（其中
，
为正常数），已知生产该产品还需投入成本
万

元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为
元，假定厂家的生产能力完全能

满足市场的销售需求；

（1）将该产品的利润
（万元）表示为促销费用
（万元）的函数；

（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值；

15. 如图，已知动直线
交圆
于坐标原点
和点
，交直线
于点
；

（1）若
，求点
、点
的坐标；

（2）设动点
满足
，其轨迹为曲线
，求曲线
的方程
；

（3）请指出曲线
的对称性、顶点和图形范围，并说明理由；

（4）判断曲线
是否存在渐近线，若存在，请直接写出渐近线方程；若不存在，说明理由；

16. 已知数列
的前
项和为
，且点

在函数
的图像上；

（1）求数列
的通项公式；

（2）设数列
满足：
，
，求
的通项公式；

（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；

参考答案

一. 填空题

1. 3； 2. 单调递增，奇函数； 3.
； 4. 1； 5. 176；

6. 96； 7. 5； 8.
； 9. ①②；

二. 选择题

10. A； 11. D； 12. B；

三. 解答题

13.（1）
；（2）
；

14.（1）
；（2）
，
；

15.（1）
，
；（2）
；

（3）关于
轴对称；顶点
；
，
；（4）
；

16.（1）
；（2）
为奇数，
；
为偶数，
；（3）
；

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