长宁区2015-2016 学年第一学期高三质量检测

数学试卷

一、填空题（本大题有14 题，满分56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4 分，

否则一律得零分

1、不等式｜x－3｜＜5的解集是___________.

2、方程9x ＋3x －2 ＝ 0的解是___________.

3、若复数z满足z2 －z＋1 ＝0，则｜z ｜＝ ___________.

4.设等差数列
的前n 项和为S n，若

5、若
的值是___________.

6、若函数 f（x）是定义域在R上对偶函数，在
上是单调递减的，且f（1）＝0，

则使f（x）＜0的x的取值范围是____.

7、设函数 y ＝f（x）的反函数是 y ＝f－1（x），且函数 y＝f（x）过点P（2,－1），则

f－1（－1）＝? ___________.

8、设常数
展开式中x3的系数为
____.

9、某校要求每位学生从8 门课程中选修5 门，其中甲、乙两门课程至多只能选修一门，则不同的选课方案有___________

种（以数字作答）

10 、已知数列
的通项公式分别是
，其中 a、b 是实常数，若
，且a、b、c 成等差数列，则c的值是___________.

11、已知函数
，如果使
对任意实数
都成立的 m 的最大值是 5 ，则实数k ＝ ___________.

12、在△ABC 中，点M 满足
，则实数m 的值为___________.

13、设命题 p :函数
的值域为R；命题q :不等式
对一切正实数x均成立，若命题 p和q不全为真命题，则实数a 的取值范围是___________.

14、定义：关于x的两个不等式
的解集分别为
，则称这两个不等式为对偶不等式，如果不等式
与不等式
为对偶不等式，且
___________.

二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答

案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分.

15、已知集合
，则a等于 （ ）

A. 1 　　B. 2 　　C. 1或2 　　D. 3

16、已知数列
的前n 项和
，第k项满足
，则k 等于（ ）

A. 6 　　B. 7 　　C. 8 　　D. 9

17、设点
是角
终边上一点，当
最小时，cos
的值是（ ）

.

18、关于函数
，有下列四个命题：①
的值域是
；

②
是奇函数；③
在
上单调递增；④方程
总有四个不同的解.其中正确的是 （ ）

A. ①② 　B. ②③　 C. ②④　 D. ③④

三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19、（本题满分12 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分6 分.

关于x 的不等式
的解集为
.

（1）求实数a,b的值；

（2）若
为纯虚数，求tan
的值.

20、（本题满分14 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分.

直三棱柱
, E,F 分别是CC1 , BC 的中点，求：

（1）异面直线EF 和A 1 B 所成的角；

（2）直三棱柱ABC － A1 B1 C1 的体积.

21、（本题满分15 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分9 分.

在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，向量
，若

（1）求角 A、B、C 的值；

（2）若
的最大值与最小值.

22、（本题满分15 分）本题共有2 个小题，第1 小题满分7 分，第2 小题满分8 分.

已知函数
，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有
成立，则称函数
是D上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有
成立，则称函数
是D上的m 级类周期函数，周期为T .

（1）已知函数
上的周期为 1 的 2 级类增周期函数，求实数a的取值范围；

（2）已知
上的m 级类周期函数，且
上的单调递增函数，当
时，
，求实数m 的取值范围.

23、（本题满分18 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小题满分8 分.

已知点
（n为正整数）都在函数
的图像上.

（1）若数列
是等差数列，证明：数列
是等比数列；

（2）设
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
，试求最小的实数t ，使
对一切正整数n 恒成立；

（3）对（2）中的数列
，对每个正整数k ，在
之间插入
个 3，得到一个新的数列
，设
是数列
的前n 项和，试探究2016 是否是数列
中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明.

参考答案

22、1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即-（x+1）2+a（x+1）＞2（-x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，整理得：（x-1）a＜x2-2x-1，∵x≥3，
令x-1=t，则t∈[2，+∞），g（t）=t-

在[2，+∞）上单调递增，∴g（t）min=g（2）=1，∴a＜1．（2）∵x∈[0，1）时，f（x）=2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）=mf（x-1）=m?2x-1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）=mf（x-1）=m2f（x-2）=…=mnf（x-n）=mn?2x-n，即x∈[n，n+1）时，f（x）=mn?2x-n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m＞0且mn?2n-n≥mn-1?2n-（n-1），即m≥2．23、

将2016代入，可知2016不是其中一项。

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