虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学　试卷 　　 2016.1

考生注意：

1.本试卷共4页，23道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1．函数
的反函数

2．设全集
则
______.

3．若复数
满足
（
为虚数单位），则复数
______.

4．在二项式
的展开式中，常数项的值为______.（结果用数字表示）

5．行列式
的最大值为______.

6. 在等差数列
中，

则数列
的前10项的和等于_____.

7．如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A

作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的

焦距为4，
为等边三角形（
为坐标原点，即双曲线

C的中心），则双曲线C的方程为_________________.

8.已知数据
的方差为16，则数据

的标准差为 .

9.已知抛物线
的弦
的中点的纵坐标为4 ，则

的最大值为__________.

10．如图所示，半径
的球O中有一内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于___________.

11. 锅中煮有肉馅、三鲜馅、菌菇馅的水饺各5个，这三种水饺的外形完全相同. 从中任意舀取4个水饺，则每种水饺都至少取到1个的概率为___________.（结果用最简分数表示）

12. 设等比数列
的前n项和为
,若
且

则

13．在由正整数构成的无穷数列
中，对任意的
且对任意的
数列
中恰有
，则

14. 若函数
恰有两个零点，则实数
的取值范围是___________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.

15. 设
为两个不同平面，若直线
则
（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

16 . 已知直线
是函数
图像的两条相邻的对称轴，则
的值为 （ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

17.已知
均为单位向量，且
若
则
的取值范围是 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

18．设函数
若关于
的方程
有四个不同的解

且
则
的取值范围是 ( )

（A）
（B）
（C）
（D）

三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

如图，在正三棱柱
中，已知它的底面边长为10，

高为20 .

求正三棱柱
的表面积与体积；

若
分别是
的中点，求异面直线
所

成角的大小（结果用反三角函数表示）.

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

已知
的面积为S，且

求

若
求
的面积S .

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.

对于函数
定义
已知偶函数
的定义域为

（1）求
并求出函数
的解析式；

(2) 若存在实数
使得函数
上的值域为
，求实数
的取值范围.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.

已知数列
的前n项和为
，且

（1） 计算
并求数列
的通项公式；

（2） 若数列
满足
求证：数列
是等比数列；

（3）由数列
的项组成一个新数列
：

. 设
为数列
的前n项和，试求
的值.

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

已知椭圆
的左焦点为
短轴的两个端点分别为
且

为等边三角形 .

(1) 求椭圆
的方程；

(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象

限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点

M 作
轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆

C交于另一点J，若
，试求以线段NJ为直径的圆的方程；

（3）已知
是过点
的两条互相垂直的直线，直线
与圆
相交于
两点，直线
与椭圆
交于另一点
；求
面积取最大值时，直线
的方程.

虹口区2015学年度第一学期期终教学质量监控测试

高三数学 参考答案和评分标准 2016年1月

一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）

1．
2．
3. 2 4．28

5． 13 6. 80 7.
8． 8

9. 12 10．
11．
12.

13．63 14．

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

15. B 16. A 17. B 18. D

三、解答题（本大题共5题，满分74分）

19．(本题满分12分) 本题共2个小题，每小题6分.

解：（1）
……(3分)

……(6分)

（2）连结
则
又

故
等于异面直线
所成角. ……(8分)

易得
，故

于是异面直线
所成角的大小为
……(12分)

20．(本题满分14分) 本题共2个小题，每小题7分.

解：（1）由
得

……(4分)

进而求得
……(7分)

（2）
……(9分)

……(12分)

……(14分)

21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.

解：（1）因为

故对任意的

于是

由
为偶函数，

. ……(6分)

(2) 由于
的定义域为
，

又

且
……(8分)

函数
的图像，如图所示. 由题意，有

……(10分)

故
是方程
的两个不相等的负实数根，即方程
在
上有

两个不相等的实根，于是

……(12分)

综合上述，得：实数
的取值范围为
……(14分)

注：若采用数形结合，得出直线
与曲线
有两个不同交点，并进行求解也可.

22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题6分，第2小题4分，第2小题6分.

解：（1）当
时，由
得
由
得

当
时，由
得

当
时，由
得

猜想：
……(3分)

下面用数学归纳法证明：

① 当
时，
结论显然成立；

② 假设当
时，
由条件知
故

于是

故数列
的通项公式为：
……(6分)

另解（1）：当
时，由
得
由
得

当
时，由
得

当
时，由
得
……(2分)

当
时，由条件知
故

于是
……(4分)

故
于是数列
的通项公式为：
……(6分)

证：（2）当
时，
当
时，由条件得

从而
故数列
是以1为首项，2为公比的等比数列. ……(10分)

解：（3）由题意，得

从而
……(16分)

注：在解答第（3）小题时，可直接求出
.

23. (本题满分18分) 本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第2小题8分.

解：（1）由题意，得
……(2分)

故椭圆C的方程为
……(4分)

（2）设
则由条件，知

从而

于是由

再由点M在椭圆C上，得

所以
……(6分)

进而求得直线NH的方程:

由

……(8分)

进而

因此以线段NJ为直径的圆的方程为：
……(10分)

（3）当直线
的