杨浦区2015学年度第一学期期末高三年级3+1质量调研

数学学科试卷（理科） 2016.1.

考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1. 已知矩阵
，
，则
_____________.

2. 已知全集U=R，集合
，则集合
_____________.

3. 已知函数
，则方程
的解
= _____________.

4. 某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面

用白布包裹，则至少需要白布_________平方米.

5. 无穷等比数列
(
)的前
项的和是
，

且
，则首项
的取值范围是_____________.

6. 已知虚数
满足
，则
__________.

7．执行如右图所示的流程图，则输出的S的值为________.

8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人

不在同一个食堂就餐的概率是_____________.

9.
展开式的二项式系数之和为
，则展开式中
的系数为______________.

10. 若数
的标准差为
，则数
的

方差为____________.

11. 如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC上，

且满足AB=3AE，BC=3CF，若
,

则
____________.

12. 已知
，当
时不等式
恒成立，则实数
的最大值是____________.

13. 抛物线
的顶点为原点
，焦点
在
轴正半轴，过焦点且倾斜角为
的直线
交抛物线于点
，若AB中点的横坐标为3，则抛物线
的方程为_______________.

14.已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，当
时，
，若直线
与函数
的图象恰有11个不同的公共点，则实数
的取值范围为____________.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15. 下列四个命题中，为真命题的是 （ ）

A. 若
，则
B. 若
，
则

C. 若
，则
D. 若
，则

16. 设
是两个单位向量,其夹角为
,则“
”是“
”的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

17.对于两个平面
和两条直线
, 下列命题中真命题是 ( )

A.若
,
, 则

B.若
,
, 则

C. 若
，
，
，则

D. 若
，
，
，则

18. 下列函数中，既是偶函数，又在
上递增的函数的个数是 （ ）

①
②
③
④

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分 ．

如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等

（1） 求证：直线
垂直于直线
.

若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 ．

某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。 在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：

（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量
，及松树数量
关于n的表达式.

（2）定义：

为
增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由.

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分．

如图，在一条景观道的一端有一个半径为
米的圆形摩天轮O，逆时针
分钟转一圈，从
处进入摩天轮的座舱，
垂直于地面
，在距离
处
米处设置了一个望远镜
（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱
分钟后，

在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜
中仔细观看。问望远镜
的仰角
应调整为多少度？（精确到1度）

（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带
，发现取景的视角
恰为
，求绿化带
的长度（精确到1米）.

解：

.

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分

如图，曲线
由两个椭圆
：
和椭圆
：
组成，当
成等比数列时，称曲线
为“猫眼曲线”.

（1）
若猫眼曲线
过点
，且
的公比为
，求猫眼曲线
的方程；

（2） 对于题（1）中的求猫眼曲线
，任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆
所得弦的中点为
，交椭圆
所得弦的中点为
，求证：
为与
无关的定值；

（3） 若斜率为
的直线
为椭圆
的切线，且交椭圆
于点
，
为椭圆
上的任意一点（点
与点
不重合），求
面积的最大值.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.

已知函数
，若存在常数T（T>0），对任意
都有
，则称函数
为T倍周期函数

（1）判断
是否是T倍周期函数，并说明理由.

（2）证明
是T倍周期函数，且T的值是唯一的.

（3）若
是2倍周期函数，
，
，
表示
的前n 项和，
，若
恒成立，求a的取值范围.

理科评分参考

填空题

1.
2．
3．1 4．

5.
6．
7．
8．
9．

10． 36 11．
12．
13．
14．（
，
）

二、选择题

15．C 16．A 17．D 18．A

三、解答题

19．（本题12分，第1小题6分，第2小题6分）

解：（1）如图，连接
交于点
，则
为线段
中点，

在正方形
中，对角线
（2分）

在
中，
，

，
平面
（2分）

（2分）

（2）边长为3米 （2分）

棱锥的高
（2分）

立方米 （2分）

答：需要
立方米填充材料.

20．（本题14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）n = 5时果树25棵，松树40棵 （2分）

（2分）

（2分）

（2）
（2分）

（2分）

当
时，2n+1 < 8 松树增加的速度快 （2分）

当
时，2n+1 > 8 果树增加的速度快 （2分）

21．（本题14分，第1小题8分，第2小题6分）

（1）
逆时针
分钟转一圈，

分钟转过
（2分）

过点
作
于点
，

则
（2分）

（2分）

，
（2分）

答：望远镜的仰角
设置为

（2）在
中，
，
（2分）

由正弦定理得：
（2分）

（2分）

答：绿化带的长度为94米.

22．（本题16分，第1小题4分，第二小题6分，第三小题6分）

（1）
，
， （2分）

，
； （2分）

（2）设斜率为
的直线交椭圆
于点
，线段
中点

由
，得
（2分）

存在且
，
，且

，即
（2分）

同理，

得证 （2分）

（3）设直线
的方程为

，

，

（2分）

，

，

（1分）

两平行线间距离：
（1分）

（1分）

的面积最大值为
（1分）

注：若用第一小题结论，算得：

的面积最大值为