丰城中学高三上学期第四次月考数学（理）试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的可能区间是(　　)

A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4)

2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，则a的值为(　　)

X

4

a

9



P

0．5

0．1

b



A．5　　 B．6　　 C．7　　 　 D．8

3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)

A．5 B．7 C．11　 D．13

4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)

A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102

5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)

A．10 B．3　　 C. D.

6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为(　　)

A．48 B．36 C．24　 D．12

7．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6

8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　)

A．既是奇函数又是偶函数 　 B．非奇非偶函数 C．偶函数　 D．奇函数

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)

A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c

10．F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)

A．2 B． C．　 D．

11． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是(　　)

A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m

12．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为(　　)

A．　 B．　 C．　 D．

二、填空题（每小题5分，共２0分）

13．已知函数f(x－2)＝则f(1)＝________.

14. 已知3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与曲线y＝x3所围成的图形的面积为________．

15．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为________．

16．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．

三、解答题（共７0分）

17．（本小题满分12分）请认真阅读下列程序框图，然后回答问题，其中n0∈N．

(1)若输入n0＝0，写出所输出的结果；

(2)若输出的结果中，只有三个自然数，求输入的自然数n0的所有可能的值．

18．（本小题满分12分）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为棱CC1上的动点．

(1)求异面直线BD与A1E所成的角；

(2)确定E点的位置，使平面A1BD⊥平面BDE.

19．（本小题满分12分）甲袋中装有大小相同的红球1个，白球2个；乙袋中装有与甲袋中相同大小的红球2个，白球3个．先从甲袋中取出1个球投入乙袋中，然后从乙袋中取出2个小球．

(1)求从乙袋中取出的2个小球中仅有1个红球的概率；

(2)记从乙袋中取出的2个小球中白球个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．F2也是抛物线C2：
的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=
．

（Ⅰ）求C1的方程；

（Ⅱ）平面上的点N满足
，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若
，求直线l的方程．

21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，其图象在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．

（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f(x)的图象关于此直线对称，并证明你的结论；

（Ⅲ）设关于x的方程f(x)＝λ2x2－5(
)的两个非零实根为x1、x2．问是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分10分）已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－3|.

①解不等式f(x)≤4；

②若存在x使得f(x)＋a≤0成立，求实数a的取值范围.

四、附加题（共10分）

23．（每小题5分）

(1)已知三棱锥
的底面是边长为
的正三角形,
.若
为
的中心,则
的长为 ．

(2)若函数
,则
的最小值是 ．

丰城中学2015-2016学年上学期高三月考试卷

数 学 理　科（课改实验班）

　　　　　　　　　　 参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的可能区间是(　　)

A．(0,1)　 　 B．(1,2)　 　C．(2,3)　 　D．(3,4)

解析：容易知道，原函数单调递增，f(1)＝ln 2－2<0，

f(2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(1,2)上，故选B.

2．已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)＝6．3，则a的值为(　　)

X

4

a

9



P

0．5

0．1

b



A．5　　 B．6　　 C．7　　 　 D．8

解析：由题意得0．5＋0．1＋b＝1，且E(X)＝4×0．5＋0．1a＋9b＝6．3，因此b＝0．4，a＝7．故选C．

3．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)

A．5 B．7 C．11　 D．13

解析：间隔数k＝＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7．故选B．

4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于(　　)

A．C102 B．C2 C．C22　 D．C102

解析：“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此P(X＝12)＝C92＝C102．故选D．

5．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)

A．10 B．3　　 C. D.

解析：＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为|||cos〈，n〉|＝＝＝. 故选D.

6．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定安排两位爸爸，另外，两个小孩一定排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为 (　　)

A．48 B．36 C．24　 D．12

解析：由题意得，爸爸排法为A种，两个小孩排在一起有A种排法，妈妈和孩子共有A种排法，∴排法种数共为A×A×A＝24(种)．答案：C

7．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　)

A．2 B．3 C．4 D．6

解析：由x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，

依题意得圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，

所以有2a×(－1)＋b×2＋6＝0， 即a＝b＋3. ①

又由点(a，b)向圆所作的切线长为 l＝， ②

将①代入②，得l＝＝，

∵b∈R，∴当b＝－1时，lmin＝4. 故选C.

8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，则函数f(x)＝(ax＋b)2(x∈R)是(　　)

A．既是奇函数又是偶函数 　 B．非奇非偶函数 C．偶函数　 D．奇函数

解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2.

又∵f(－x)＝a2(－x)2＋b2＝a2x2＋b2，∴f(－x)＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．故选C．

9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a，b，c的值为(　　)

A．a＝，b＝c＝ B．a＝b＝c＝

C．a＝0，b＝c＝ D．不存在这样的a，b，c

解析：由题意知，等式对一切n∈N*都成立，可取n＝1,2,3，代入后构成关于a，b，c的方程组，求解即得．令n＝1,2,3分别代入已知得

即

解得，a＝，b＝，c＝. 故选A.

10．F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为(　　)

A．2 B． C．　 D．

解析：如图所示，

由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2是正三角形，

所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120°，

在△F1AF2中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a×＝28a2，所以e＝．故选B．

11． 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是(　　)

A.(2－)m B.(2＋)m C.(2－)m D.(2＋)m

解析：由题知，此球内切于四棱锥时，半径最大，

设该四棱锥的内切球的球心为O，半径为r，连接OA，OB，OC，OD，OP，易知

VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PAD＋VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PCD，

即×m2×m＝×m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r＋××m2×r， 解得r＝(2－)m， 所以此球的最大半径是(2－)m. 故选C.

12．已知△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若3＋4＋5＝0，则△AOC的面积为(　　)

A．　 B．　 C．　 D．

解析：依题意，得(3＋5)2＝(－4)2,92＋252＋30·＝2，即34＋30cos∠AOC＝16，cos∠AOC＝－，sin∠AOC＝＝，△AOC的面积为||||sin∠AOC＝，故选A．

二、填空题（每小题5分，共２0分）

13．已知函数f(x－2)＝则f(1)＝________.

解析：令x－2＝1，则x＝3，∴f(3)＝1＋32＝10. 答案：10

14.已知3的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与曲线y＝x3所围成的图形的面积为________．

解析：Tk＋1＝C3－k(x2)k＝Cx3k－3，令3k－3＝0，得k＝1，

即常数项a＝3，直线y＝3x与曲线y＝x3交点的横坐标分别为－，0，，所以所围成图形的面积为2(3x－x3)dx＝2＝．答案：

15．在区间[－1,1]上任取两数m和n，则关于x的方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为________．

解析：由题意知－1≤m≤1，－1≤n≤1．要使方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根，则Δ＝m2－4n2>0，即(m－2n)(m＋2n)>0．作出可行域，如图，当m＝1时，nC＝，nB＝－，所以S△OBC＝×1×＝，所以方程x2＋mx＋n2＝0有两个不相等实根的概率为＝＝．答案：

16．已知双曲线x2－＝1上存在两点M，N关于直线y＝x＋m对称，且MN中点在抛物线y2＝18x上，则实数m的值为________．

解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为P(x0，y0)，则

由①－②，得x－x＝，

即(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，也即2x0＝··2y0＝·(－1)·2y0，

∴y0＝－3x0， ③

又