益阳市箴言中学2016届高三第三次模拟考试

理科数学试题

时量 120分钟 总分 150分

一、选择题（每小题5分，共60分）

已知M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为（ ）

A．1 B．－1 C．1或－1 D．0或1或－1

记等比数列
的公比为q，则“q>1”是“
>
(n∈N*)”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

已知sin(
＋
)＝
，则sin2
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

函数
＝Asin(
x＋
)(A>0，
>0，|
|<
)的部分图象如图所示，则
，
的值分别为（ ）

A．2，
B．3，

C．3，
D．2，

若直线x·cos
＋y·sin
－1＝0与圆
相切，且
为锐角，则该直线的斜率是（ ）

A．－
B．－
C．
D．

设函数
＝
，则满足
≤2的x的取值范围是（ ）

A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)

正四棱锥S—ABCD的侧棱长为
，底面边长为
，E为SA中点，则异面直线BE与SC所成的角是（ ）

A．30° B．45°

C．60° D．90°

曲线y＝
在点(－1，a)处的切线方程为2x－y＋b＝0，则（ ）

A．a＝1，b＝－1 B．a＝1，b＝1

C．a＝1，b＝3 D．a＝－1，b＝－2

在平面直角坐标系中，若不等式组
(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为（ ）

A．－5 B．1 C．2 D．3

下列不等式恒成立的个数有（ ）

①ab≤
≤
(a，b∈R)； ②
≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)；

③若实数a>1，则a＋
≥5； ④若实数a>0，则lga＋
≥2.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

空间四点A、B、C、D均在同一球面上，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6，则该球的体积为（ ）

A．32

B．48
C．64

D．16

已知满足条件
≤1的点(x，y)构成的平面区域的面积为S1，满足条件
≤1的点(x，y)构成的平面区域的面积为S2，其中[x]、[y]分别表示不大于x、y的最大整数，例如：[－0.3]＝－1，[1.2]＝1等，则S1与S2的关系是（ ）

A．S1＋S2＝
＋3 B．S1＝S2

C．S1>S2 D．S1

二、填空题（每小题5分，共20分）

在△ABC中，若(
b－c)·cosA=a·cosC，则cosA= .

设p：函数
＝
在区间(4，＋∞)上单调递增；q：
<1，如果“p”是真命题，“p或q”也是真命题，则实数a的取值范围为 .

某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为 .

满足条件AB=6，AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值为 .

三、解答题：

（本小题满分10分）设函数
=
－2a·sinx·cosx－
的图象的一条对称轴的方程为x=－
.

（1）求实数a的值；

（2）对于x∈[0，
]，求函数
的最小值及取得最小值时的x的值.

（本小题满分10分）已知方程
＋
－2x－4y＋m＝0.

（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；

（2）若（1）中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；

（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

（本小题满分12分）已知数列{an}的首项a1＝
，an＋1＝
（n∈N*）

（1）设
＝
，求数列
的通项公式；

（2）求数列{
}的前n项和Sn.

（本小题满分12分）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10km时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？

（本小题满分13分）如图所示的几何体ABCDE中，DA⊥平面EAB，CB∥DA，EA=DA=AB=2CB，EA⊥AB，M是EC的中点.

（1）求证：DM⊥EB；（2）求二面角M—BD—A的余弦值.

（本小题满分13分）设
＝
（x>0）.

（1）判定函数
的单调性；

（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式ln(1＋x)

理科数学试题——参考答案

一、选择题：

DDBD ADCC DCAD

二、填空题：

13、【
】；14、【a>4】；15、【

】；16、【12】；

三、解答题：

17、解：（1）∵
=cos2x－a·sin2x=
cos(2x+
)，又图象的一条对称轴x=－
，

∴
=

，即
(1+a)=

，解得：a=1.

（2）由（1）得：
=
cos(2x+
)，

又由x∈[0，
]得：
≤2x+
≤
，

∴－1≤cos(2x+
)≤
，∴
min=－
，当且仅当2x+
=
，即x=
，

∴
的最小值为－
，此时x=
.

18、解：（1）由D2＋E2－4F>0得：
，解得m<5；

（2）设M(
，
)，N(
，
)，由x＋2y－4＝0得：x＝4－2y；将x＝4－2y代入
＋
－2x－4y＋m＝0得：5
－16y＋8＋m＝0，∴
＋
＝
，

＝
，∵OM⊥ON，∴
＝－1，即

＋

＝0，∵

＝(4－2
)(4－2
)＝16－8(
＋
)＋4

，∴

＋

＝16－8(
＋
)＋5

＝0，即(8＋m)－8×
＋16＝0，解得m＝
；

（3）设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝
(
＋
)＝
，b＝
(
＋
)＝
，半径r＝|OC|＝
，∴所求圆的方程为：
.

19、解：（1）由an＋1＝
得：
＝
＋
，∴
＝
(
)，∴
＝

又
=
＝
－1＝
≠0，∴
≠0，∴
=
（常数），

∴数列{
}是以
为首项，以
为公比的等比数列，∴
=
.

（2）由（1）知：
＝
，∴
＝
＋1， ∴
＝n＋
，

∴Sn＝
＋
＋…＋
＝（1＋2＋···＋n）＋[1×
＋2×(
)2＋···＋n×(
)n]，

令Tn＝1×
＋2×(
)2＋···＋n×(
)n，得：Tn＝2－
－
（“差比”数列求和）

∴Sn＝2－
＋
＝
－
.

20、解：设轮船航行的速度为x，则每小时的燃料费用为y＝k·x3，

把x＝10，y＝6代入得：k＝0.006，∴y＝0.006·x3，

∵每千米所用时间为：

∴每千米的费用总和为：
＝(0.006·x3＋96)·
＝0.006x2＋
，

∴由
＝0.012x－
>0得：x>20；∴当0

当x>20时，
>0，
为增函数，∴当x＝20时，
取最小值，

∴轮船以20km/h的速度航行时，能使每千米的费用总和最小.

21、证明：（1）过点M作MN⊥BE于N，则N为BE的中点，

且MN∥CB∥DA，连结AN，

∵EA=AB且EA⊥AB，又N为BE的中点，

∴AN⊥BE，又∵DA⊥平面EAB，∴DA⊥BE，

∴BE⊥面ANMD，∴BE⊥DM，即DM⊥EB.

（2）以A为原点，AE，AB，AD分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，A—xyz，设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），D（0，0，2），

M（1，1，
），
=（－1，1，－
），
=（－1，－1，
），

显然，
=（2，0，0）为平面ABD的法向量，设平面MBD的法向量为
=（x，y，z），由
，得
，令z=2，得x=1，y=2，∴取
=（1，2，2）

设二面角M—BD—A的平面角大小为
，∵
∈（0，90°），

∴cos
=
=
=
=
.

22、解：（1）∵
＝
（x>0），令
＝
（x>0），则

＝
－
＝
≤0，∴
在（0，＋∞）上单调递减，∴
<
＝0，

∴
<0，∴
在（0，＋∞）上为减函数.

（2）∵ln(1＋x)

令
＝ln(1＋x)－ax，则
＝
－a.

①若a≥1，则
<0，∴
单调递减，∴
<
＝0，即ln(1＋x)

②若a≤0，则
>0，∴
单调递增，∴
>
＝0，∴ln(1＋x)>ax，即ln(1＋x)

③若0
＝0，即ln(1＋x)>ax，∴0

综上①②③得：a≥1.