松滋一中2015-2016学年度高三上学期期中考试

数学（理科）试题

时间：120分钟 分值150分 命题：吴纪林

第I卷（选择题）

评卷人

得分











一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共计50分）



1．已知函数
，
是
的导数，
的大致图象是（ ）

2．已知
在区间
上不单调，实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

3．“直线
垂直于平面
内两直线
，
”是“直线
平面
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．
是函数
的导数，函数
是增函数（
是自然对数的底数），
与
的大小关系是（ ）

A．
B．

C．
D．

5．已知命题
全等三角形面积相等；命题
矩形对角线互相垂直．下面四个结论中正确的是（ ）

A．
是真命题 B．
是真命题

C．
是真命题 D．
是假命题

6．已知函数
，
的导数是（ ）

A．偶函数 B．奇函数 C．增函数 D．减函数

7．顺次列出的规律相同的
个数中的前四个数依次是
，
，
，
，第
个数是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知函数
的导数为
，
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．在复平面内，复数
对应的点在（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10．已知函数
的定义域是
，
是
的导数．
，对
，有
（
是自然对数的底数）．不等式
的解集是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题）

评卷人

得分











二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可，对而不全均不得分．）



11．已知定义在
上的函数
的图象在点
处的切线方程为
，则
_____．

12．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________．

13．若实数
满足条件
， 则
的最大值是__________．

14．若双曲线
与抛物线
的准线交于A，B两点，且
则m的值是__________．

15．已知
的最小值是
，则二项式
展开式中
项的系数为__________．

16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）
中，
是
的中点，
是
的中点，
是棱
所在直线上的动点．则下列四个命题：



①

②

平面

③

④过
可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．

其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．

17．如下图数阵中的前n行的数字和为 ；

评卷人

得分











三、解答题（本大题共5小题，共65分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）



18．（本小题满分12分）如图所示，在所有棱长都为
的三棱柱
中，侧棱
，
点为棱
的中点．

（1）求证：
∥平面
；

（2）求四棱锥
的体积．

19．（本小题满分12分）设函数
．

（Ⅰ）当
（
为自然对数的底数）时，求
的极小值；

（Ⅱ）讨论函数
零点的个数；

（Ⅲ）若对任意
，
恒成立，求
取值范围．

20．（本题满分12分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．

（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球概率；

（2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球概率；

（3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数
的分布列和期望．

21．（本题满分14分）为考查某种药物预防疾病的效果,进行动物试验,得到如下丢失数据的列联表：

患病

未患病

总计



没服用药

20

30

50



服用药





50



总计





100



设从没服用药的动物中任取两只,未患病数为
;从服用药物的动物中任取两只,未患病数为
,工作人员曾计算过

（1）求出列联表中数据
的值；

（2）能够以99%的把握认为药物有效吗?

参考公式：
，其中
；

①当K2≥3．841时有95%的把握认为
、
有关联；

②当K2≥6．635时有99%的把握认为
、
有关联．

22．（15分）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号



甲班

6

5

7

9

8



乙班

4

8

9

7

7





（1）从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定（用数字特征说明）；

（2）若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作
和
，试求
和
的分布列和数学期望．

参考答案

1．C

2．D

3．B

4．D

5．B

6．A

7．B

8．C

9．A

10．B

11．2

12．

13．

14．

15．

16．①②③④

17．

18．（1）7 （2）

19．（Ⅰ）2（Ⅱ）

没有零点
有一个零点
有两个零点（Ⅲ）

20、6.5

21．（1）

（2）不能够有99%的把握认为药物有效

试题分析：（1）由已知条件的概率值，结合古典概型概率公式可求得
的值，进而得到
；（2）中求解时首先将列联表中的数据代入
得计算公式得到
的值，将其值与6．635比较大小，若K2≥6．635则有99%的把握认为
、
有关联

试题解析：（1）

6分

（2）

故不能够有99%的把握认为药物有效 12分．

考点：1．独立性检验；2．古典概型概率

22．（1）甲班的成绩比较稳定

（2）

0

1

2



P











[:.]

0

1

2



P











试题分析：（1）比较成绩的稳定程度即比较两组数据的方差大小，方差越小越稳定；（2）首先找到随机变量
可以取的值1,2,3，借助于相互独立事件同时发生的概率公式得到每个随机变量对应的概率值，汇总成分布列，再由分布列求得期望值

试题解析：（1）两个班数据的平均值都为7，

甲班的方差
，

乙班的方差
，

因为
，甲班的方差较小，所以甲班的成绩比较稳定． 4分

（2）
可能取0，1，2

，
，
，

所以
分布列为：

0gkstkCom

1

2gkstkCom



P









 6分

数学期望
8分

可能取0，1，2

，
，
，

所以
分布列为：

0

1

2



P









 10分

数学期望
． 12分