株洲市第二中学2016届高三上学期第三次月考

数学（理）试题

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，设全集为U=R，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．
B．

C．
D．

2. 命题“对任意的
，都有
”的否定是（ ）

A..对任意的
，都有
B.存在
，使

C.不存在
，使
D.存在
，使

3. 以双曲线
的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 在△ABC中,若
，
,
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

5. 若
，且
，则a的值为（ ）

A.1 B.2 C.
D.

6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如下左图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 如果执行如上图的程序框图,若输入n＝6,m＝4,那么输出的p等于（ ）

A.720 B.360 C.240 D.120

8.设各项都是正数的等比数列
的前项之积为Tn，且T10=32，则
的最小值是

A.
B.
C.
D.

9. 在某次会议上，有2位女性和3位男性共五位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端的概率为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.
是定义在非零实数集上的减函数，记
，则 （ ）

A.
B.
C.
D.

11. 已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则
（ ）

A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．与P点位置有关

12．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为E，延长EF交抛物线
于点P．若
，则双曲线的离心率为（ ）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13．若复数(
)＋(
)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数
＝ ；

14. 设实数x，y满足不等式组
，则3x+4y的最小值是 ；

15. 若正数
满足
，则
的最小值为 ；

16．若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为
和
的“隔离直线”，已知函数
，有下列命题：

①
在
内单调递增；

②
和
之间存在“隔离直线”，且
的最小值为
；

③
和
之间存在“隔离直线”，且
的取值范围是
；·

④
和
之间存在唯一的“隔离直线”
.

其中真命题的个数为 （请填所有正确命题的序号）

三、解答题：解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）已知函数
。

（1）求函数
的最小正周期以及在区间
的最小值；

（2）设
的内角
的对边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的面积。

18．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列
满足：
，且
是
和
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式
；

（2） 令
，
，求使
成立的最小的正整数
．

19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1。

（1）求证：BF∥平面ACGD；

（2）求二面角D—CG—F的余弦值。

20．（本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线
与椭圆C相交于A、B两点，且
·
，求证：△AOB的面积为定值；

21．（本小题满分12分）已知函数

（1）若
在
上无极值，求
的值；

（2）若存在
，使得
是
在
上的最大值，求实数
的取值范围；

（3）若
（e为自然对数的底数）对任意的
恒成立，且m的最大值为1，求实数
的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图BD是△ABC外接圆的切线。过A作BD的平行线交BC于E，交△ABC的外接圆于F.

（1）若
，求△ABC外接圆的面积；

（2）求证：

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为
（t为参数）,若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C相切，求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
。

（1）当
时，求函数
的定义域；

（2）若函数
的定义域是R，求实数a的取值范围。

参考答案

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分150分.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，设全集为U=R，
，则图中阴影部分表示的集合为（ B ）

A．
B．

C．
D．

2. 命题“对任意的
，都有
”的否定是（ B ）

A..对任意的
，都有
B.存在
，使

C.不存在
，使
D.存在
，使

3. 以双曲线
的中心为顶点，右焦点为焦点的抛物线方程是（ B ）

A．
B．
C．
D．

4. 在△ABC中,若
，
,
，则
（ A ）

A.
B.
C.
D.

5. 若
，且
，则a的值为（ A ）

A.1 B.2 C.
D.

6. 某四棱锥的底面为正方形，其三视图如下左图所示，则该四棱锥的体积等于（ B ）

A．1 B．2 C．3 D．4

7. 如果执行如图的程序框图,若输入n＝6,m＝4,那么输出的p等于（ B ）

A.720 B.360 C.240 D.120

8. 在某次会议上，有2位女性和3位男性共五位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且仅有2位相邻的概率为（ C ）

A.
B.
C.
D.

9.
是定义在非零实数集上的函数，
为其导函数，且
时，
，记
，则 （ C ）

A.
B.
C.
D.

10. 已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则
（ B ）

A．最大值为8 B．是定值6 C．最小值为2 D．与P点位置有关

11．过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为E，延长EF交抛物线
于点P．若
，则双曲线的离心率为（ B ）

【解析】设双曲线的右焦点为F'，则F'的坐标为（c，0）

∵抛物线为y2=4cx，∴F'为抛物线的焦点，O为FF'的中点，

∵
，∴E为FP的中点，∴OE为△PFF'的中位线，

∵O为FF'的中点，∴OE∥PF'，∵|OE|=a ，∴|PF'|=2a

∵PF切圆O于E，∴OE⊥PF，∴PF'⊥PF，

∵|FF'|=2c ，∴|PF|=2b

设P（x，y），则x+c=2a，∴x=2a﹣c

过点F作x轴的垂线，则点P到该垂线的距离为2a

由勾股定理 y2+4a2=4b2∴4c（2a﹣c）+4a2=4（c2﹣a2）

∴e2﹣e﹣1=0，∵e＞1，∴e=
．故选B．

12．若存在实常数
和
，使得函数
和
对其公共定义域上的任意实数
都满足：
和
恒成立，则称此直线
为
和
的“隔离直线”，已知函数
，有下列命题：

①
在
内单调递增；

②
和
之间存在“隔离直线”，且
的最小值为
；

③
和
之间存在“隔离直线”，且
的取值范围是
；

④
和
之间存在唯一的“隔离直线”
.

其中真命题的个数有（ C ）

A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

13．若复数(
)＋(
)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数
＝
；

14. 设实数x，y满足不等式组
，则3x+4y的最小值是 13 ；

15. 若正数
满足
，则
的最小值为 16 ；

16. 已知
的展开式中的常数项为
，
是以
为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是
．

解析：∵
的常数项为
=2

∴f（x）是以2为周期的偶函数

∵区间[﹣1，3]是两个周期

∴区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点

可转化为f（x）与r（x）=kx+k有四个交点

当k=0时，两函数图象只有两个交点，不合题意

当k≠0时，∵r（﹣1）=0，两函数图象有四个交点，必有0＜r（3）≤1解得0＜k≤

故答案为：

三、解答题：解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17．（本小题满分12分）已知函数
。

（1）求函数
在区间
的最小值和最小正周期；

（2）设
的内角
的对边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的面积。

18．（本小题满分12分）已知单调递增的等比数列
满足：
，且
是
和
的等差中项．

（1）求数列
的通项公式
；

（2） 令
，
，求使
成立的最小的正整数
．

解析：（Ⅰ）设an的公比为q，由已知，得
?

?
?
，∴an=a1qn-1=2n； （Ⅱ）bn=2n
2n=-n?2n，设Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①则2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1，②

①-②得：-Tn=（2+22+…+2n）-n×2n+1=-（n-1）×2n+1-2，∴Sn=-Tn=-（n-1）×2n+1-2（10分）故Sn+n?2n+1＞50?-（n-1）×2n+1-2+n×2n+1＞50，?2n＞26，∴满足不等式的最小的正整数n为5．

19．（本小题满分12分）如图，在六面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG，且AB=AD=DE=DG=2，AC=EF=1。

（1）求证：BF∥平面ACGD；

（2）求二面角D—CG—F的余弦值。

解法二：由题意可得， DA，DE，DG两两垂直，故可建立如右图所示的空间直角坐标系。

则A(0,0,2)，B（2,0,2），C（0,1,2），E（2,0,0），G（0, 2,0），F(2,1,0).

（1）

∴
，∴BF∥CG。

又BF