湖南师范大学附属中学2016届高三月考（三）

数学（理）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合A＝｛1，2，3，5，7｝，B＝｛x
N｜2＜x≤6｝，全集U＝AU B，则A
（CuB）＝

A.｛1，2，7｝　　B.｛1，7}

C.｛2，3，7｝　　D. ｛2，7}

2.已知复数
，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是

　A.
　　B.
　C.
　　D．

3.已知某几何体的正视图和侧视图均如下图所示，给出下列5个图形：

其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是

A．5个　　B、 4个 　C．3个、　D、2个

4．为确保信息安全，信息需加密传输。发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则如程序框图所示．例如：明文（1，2，3，4）对应的密文是：（5，7，18，16），则当接收方收到密文（14，9，23，28）时，解密得到的明文是

A、（4，6，1，7）

B、（7，6，1，4）

C、（6，4，1，7）

D、（1，6，4，7）

5.已知实数x，y满足约束条件
，则z＝
的取值范围是

A、［－1，
］　　　　B、［－
，
］

C、［－
，
　　　D、［－
，1）

6.已知定义在R上的函数f(x)满足f（x＋2）＋f（x）＝0，且当
[0,2)时， f ( x)＝3x一1，则f(2015)的值为

A. － 2 　　B. 0 　　C. 2　　　　　D. 8

7.设双曲线
的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A，若
，则双曲线的离心率为

A. 6 　　B. 4　　　 C. 3　　　 D. 2

8.现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是

A. 12 　B. 24　　　C. 36 　D. 48

9.已知函数f（x）＝x2一2x＋m，在区间［－2，4］上随机取一个实数x，若事件“ f( x} ＜0”发生的概率为
，则m的值为

A. 2 　　B,一2 　　C. 3 　　　D.一3

l0、已知数列
的首项
＝2，数列
为等比数列，且
，若
＝2，则
＝

A. 29 　　B. 210 　C. 211　　D、212

11.设点A、B、C为球O的球面上三点,O为球心．若球O的表面积为100
，且△ABC是边长为
的正三角形，则三棱锥O－ABC的体积为

A．12　　B．12
　C. 24
　D、36

12.已知Rt△AOB的面积为1，O为直角顶点，设向量
，
，则
的最大值为

　　A、1　　　B、2　　　C、3　　　D、4

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷

对应题号后的横线上．

13、在△ABC中，已知
，AC＝3，则AB＝　　　　

14.设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆
的切线，切点为A，则切线长｜PA｜的最小值是　　　　

15.已知数列
为等差数列，其前n项和为Sn，且
＜0，若Sn存在最大值，则满足Sn的n的最大值为　　　　

16.已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当
0时，f（x）＝
，其中a＞0为常数．若函数y＝
有10个零点，则a的取值范围是　　　　

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知函数
的图象关于直线x＝
对称，其中
为常数，且
（
，1）．

(1)求函数f (x)的最小正周期；

(2)若存
，使f(
) =0，求
的取值范围．

18.（本小题满分1L分）

PM2. 5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值．即PM2.5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级；在35微克／立方米一75微克／立方米之间空气质量为二级；在75微克／立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2. 5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如下茎叶图所示．

(l)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2. 5的平均值和方差；

(2)从所抽样的6天中任意抽取三天，记
表示抽取的三天中空气质量为二级的天数，求
的分 布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图，在平行四边形ABCD中AB = 2AD, ∠BAD = 600 , E为AB的中点．将△ADE沿直线DE折起到△PDE的位置，使平面PDE⊥平面BCDE.

（1)证明：CE⊥PD;

（2)设F, M分别为PC,DE的中点，求直线MF与平面PDE所成的角．

20．（本小题满分12分）

如图，已知抛物线C1：
的焦点为F，椭圆C2的中心在原点，F为其右焦点，点M为曲线C1和C2在第一象限的交点，且｜MF｜＝
。

（1）求椭圆C2的标准方程；

（2）设A，B为抛物线C1上的两个动点，且使得线段AB的中点D在直线
上，P（3,2）为定点，求△PAB的最大值。

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝x一ln（x＋1）．

（l）设
一f（x），求函数g（x）的值域；

（2）设
，曲线y＝f（x）在点（n，f（n））处的切线的斜率为k0，数列

的前n项和为
，试比较
与f（n）的大如并说明你的理由。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多标则按所做的第一题计分·

22．（本小题满分10分）选修4一卜几何证明选讲

如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．

（l）求证：
；

（2）若⊙O的半径为2
，OA＝
OM，求MN的长·

23·（本小题满分10分）选修4一如坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：
为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
，曲线C3：
。

（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；

（2）设点A、B分别为曲线C2、C3上的动点，求｜AB｜的最小值．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，其中a为实常数．

(1）若函数f (x)的最小值为3，求a的值；

C2)若当x
〔1，2〕时，不等式
恒成立，求a的取值范围，