株洲市第二中学2016届高三上学期第三次月考

数学（文）试题

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}．若x∈M且x?N，则x等于

A．1 B．－1 C．0 D．2

2．已知复数
满足
，则

A．
B．
C．
D．

3．已知
，且
，则tanφ＝

A．
B．
C．
D．

4、函数f(x)＝
sinx－cosx（x∈[0，π]）的单调递减区间是

A [0，
] B [
，
] C [
，π] D [
，
]

5、《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为

A.
B.
C.
D.

6、右边茎叶图表示甲乙两人在5次测评中成绩（成绩为整数）

其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩

的概率为：

A.
B.
C.
D.

7、已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，

且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为

A.
B.

C.
D.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A 2 B
C 4 D

9．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第
项是

A．
B．
C．
D．

10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是

A.  B.  C.  D. 

11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为

A． x＋2y＋z－2＝0 B．x＋2y＋z＋2＝0 C．x＋2y－z－2＝0 D．x－2y－z－2＝0

12、已知函数
，则不等式
的解集为

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若
,则
．

14．若x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最大值为 ．

15． 已知P（x,y）为圆
上的动点，则
的最大值为 _____________。

16、设数列
的首项
，前n项和为Sn , 且满足
( n∈N*) ．则满足
的所有n的和为 ．

三、解答题（70分）

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2
sin (x+
)cos(x+
)+sin2x

（1）求f(x)的最小正周期;

（2）若将f(x)的图像向右平移
个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间
上的最大值和最小值.

18．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．

(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；

(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，EA
面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与面
的所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆上，且
与
轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）过
作直线与椭圆交于另外一点
，求
面积的最大值。

21．（本小题满分12分）已知函数
(
∈R)．

(1) 当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．

23．（本小题满分10分）已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）设点

，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.

参考答案

考试时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}．若x∈M且x?N，则x等于(　　 )B

A．1 B．－1 C．0 D．2

2．已知复数
满足
，则
（ ）C

A．
B．
C．
D．

3．已知
，且
，则tanφ＝（ ）D

A．
B．
C．
D．

4、函数f(x)＝
sinx－cosx（x∈[0，π]）的单调递减区间是 C

A [0，
] B [
，
] C [
，π] D [
，
]

5、《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织的布的尺数为(　　) A

A.
B.
C.
D.

6、右边茎叶图表示甲乙两人在5次测评中成绩（成绩为整数）

其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩

的概率为： B

A.
B.
C.
D.

7、已知双曲线
的一个焦点与抛物线
的焦点重合，

且双曲线的离心率等于
，则该双曲线的方程为（ ）D

A.
B.

C.
D.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 B

A 2 B
C 4 D

9．执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第
项是 B

A．
B．
C．
D．

10．在△ABC所在的平面内有一点P，如果2＋＝－，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是(　 　)B

A.  B.  C.  D. 

11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面的方程为 C

A． x＋2y＋z－2＝0 B．x＋2y＋z＋2＝0 C．x＋2y－z－2＝0 D．x－2y－z－2＝0

12、已知函数
，则不等式
的解集为（ ）D

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．若
,则
．-1

14．若x,y满足约束条件
,则z=2x+y的最大值为 ．8

15． 已知P（x,y）为圆
上的动点，则
的最大值为 _____________。5

16、设数列
的首项
，前n项和为Sn , 且满足
( n∈N*) ．则满足
的所有n的和为 ．7

试题分析： 由题意
,可得:
,与原式相减得:
,故
,又
,得
,所以
是等比数列,可得
有
,则
,解得
,所以和为

三、解答题（70分）

17．（本小题满分12分）已知函数f(x)=2
sin(x+
).cos(x+
)+sin2x

（1）求f(x)的最小正周期;

（2）若将f(x)的图像向右平移
个单位，得到函数g(x)的图像，求函数g(x)在区间
上的最大值和最小值.

.(1)
…………….6分

(2) 化简整理得
,

故当
时，g(x)取最大值2；当
时，g(x)取最小值-1

18．（本小题满分12分）某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．

(1)求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；

(2)若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．

18，（1）解：从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3,2,1.

( 2 )解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3,2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．

从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师(记为事件B)的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P(B)＝＝.

19．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，EA
面ABCD，侧面ABE是等腰直角三角形，
，
，
，
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求直线
与面
的所成角的正弦值．

解析：(2)直线
与面
的所成角的正弦值为

20．（本小题满分12分）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆上，且
与
轴垂直。

（1）求椭圆的方程；

（2）过
作直线与椭圆交于另外一点
，求
面积的最大值。

1）有已知：
，
，∴
，
故椭圆方程为
（2）当
斜率不存在时：
当AB斜率存在时：设其方程为：
由
，得
由已知：

即：


到直线
的距离：

∴
∵
，∴
，∴
，∴
此时
综上所求：当
斜率不存在或斜率为零时，
面积取最大值为

21．（本小题满分12分）已知函数
(
∈R)．

(1) 当
时，求函数
的极值；

（2）若函数
的图象与
轴有且只有一个交点，求
的取值范围．

（1）当
时,
取得极大值为

;当
时,
取得极小值为

.

（2）a的取值范围是
． 【解析】试题分析：（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”.（2） 根据
=
，得到△=
=
.据此讨论：① 若a≥1，则△≤0， 此时
≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 .计算f（0）
，
,得到结论.② 若a＜1，则△＞0，
= 0有两个不相等的实数根，不妨设为
．有
． 给出当
变化时，
的取值情况表.根据f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞
．作出结论.试题解析： （1）当
时，
，∴

.令
=0, 得
. 当
时,
, 则
在
上单调递增;

当
时,
, 则
在
上单调递减;当
时,
,
在
上单调递增. ∴ 当
时,
取得极大值为

;当
时,
取得极小值为

.（2） ∵
=
，∴△=
=
.①若a≥1，则△≤0，∴
≥0在R上恒成立，∴ f（x）在R上单调递增 .∵f（0）
，
, ∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点．

② 若a＜1，则△＞0，∴
= 0有两个不相等的实数根，不妨设为
．∴
． 当
变化时，
的取值情况如下表：

x



x1

（x1，x2）

x2







+

0

－

0

+



f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗



∵
,∴
.∴

=


.

同理

.∴

.令f（x1）·f（x2）＞0, 解得a＞
．而当
时,
, 故当
时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点.综上所述，a的取值范围是
．

23．（本小题满分10分）已知曲线
的极坐标方程是
，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线
的参数方程是
（
为参数）.

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程和直线
的普通方程；

（Ⅱ）设点

，若直线
与曲线
交于
两点，且
，求实数
的值.

（Ⅰ）由
，得：
，∴
，即