2015学年第一学期期中杭州地区七校联考

高三年级数学（理） 试 题

考生须知：

1．本卷满分150分，考试时间120分钟；

2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置；

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；

4．考试结束后，只需上交答题卷。

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知全集
，
，
，那么
（ ▲ ）

A．
B．
C．
D ．

2、函数
，若
, 则
的值为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

3、在
中，“
”是“
”的（ ▲ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4、若函数
在
上既是奇函数又是增函数，

则函数
的图像是（ ▲ ）

5、已知函数
，
的图像与直线
有三个交点，其横坐标分别为

，那么
的值是（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

6、在
中，
分别为角
的对边，且
,

则（ ▲ ）

A.
成等比数列 B.
成等差数列

C.
成等比数列 D.
成等差数列

7、已知点
为直线
上不同的三点，点
，实数
满足关系式
，则下列结论中正确的个数有（ ▲ ）

①.
②.
③.
的值有且只有一个

④.
的值有两个 ⑤.点
是线段
的中点

A.
个 B.
个 C.
个 D.
个

8、记数列
的前
项和为
，若不等式
对任意等差数列
及任意正整数
都成立，则实数
的最大值为（ ▲ ）

A.
B.
C.
D.

二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。

9、计算：
▲ ，
▲ ．

10、记公差
不为0的等差数列
的前
项和为
成等比数列，

则公差
= ▲ ；数列
的前
项和为
= ▲ ；

11、已知点
，
为坐标原点，点
满足
,

则满足条件点
所形成的平面区域的面积为 ▲ ,

则
在
方向上的投影的最大值是 ▲ 。

12、已知函数
是偶函数,且满足
，当
时，
恒成立，设
，
，
，则
，
，
的大小关系为 ▲ 。

13、设
的三个内角
所对边分别为
，三角形的面积为
，

若
，则
= ▲ 。

14、在等腰梯形
中，已知
平行
，
,

动点
和
分别在线段
和
上，且
,

则
的最小值为 ▲ 。

15、已知函数
定义域为
，若存在常数
，使
对一切实数均成立，

则称
为
函数，给出下列函数：

①
；②
；③
；④
；

⑤
是定义域在
上的奇函数，且满足对一切实数均有
。

其中是
函数的序号为 ▲ 。（少选或多选一律不给分）

三. 解答题：本大题共5题，共73分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本题满分14分）

在
中，角
所对边分别为
，且
成等差数列

(I)、求角
的值；

(II)、若
时，求
的面积。

17、（本题满分14分）

已知向量
，设函数
的图像关于直线
对称，其中
为常数，且
。

(I)、求函数
的最小正周期及单调减区间；

(II)、若
的图像经过点
，若集合
仅有一个元素，求实数
的取值范围。

18、（本题满分14分）

在平行四边形
中，
分别是线段
的中点，且

;

(I)、试用向量
表示向量
;

(II)、求
；

(III)、设
为
的重心（三角形三条中线的交点），若
，

求
的值。

19、（本题满分15分）

已知等比数列
的公比为

，且
．

（I）、求数列
的通项公式；

（II）、若
，求
的前
项和
；

（III）、设该等比数列
的前
项和为
，正整数
满足
，

求出所有符合条件的
的值．

20、（本题满分15分）

已知函数

（I）、若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；

（II）、若
时，函数
在实数集
上有最小值，求实数
的取值范围。

2015学年第一学期期中杭州地区七校联考

高三年级数学（理科）参考答案

一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

B

C

C

A

B

D





二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。

9、 第一问
，第二问
，每空3分

10、 第一问
，第二问
，每空3分

11、 第一问
，第二问
，每空3分

12、
（或者
）

13、

14、

15、 ①④⑤（多选或少选都不给分）

三. 解答题：本大题共5题，共73分。解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本题满分14分）

（I）、由
成等差数列知

法1

所以
------------------------------------------------------------------------------6分

法2

所以
------------------------------------------------------------------------------6分

(II)、由余弦定理知
------------------------------------------8分

代入
得
-------------------------------------------------------------------11分

所以
-----------------------------------------------------------------------14分

17、（本题满分14分）

------------------------------------------2分

由
的图像关于直线
对称知

,所以
----------------------------4分

（I）、所以
，其最小正周期
---------------------6分

单调减区间为
(不用区间或集合表示扣1分) --------------8分

（I I）、
的图像经过点
得
--------10分

数形结合知实数
的取值范围为
或
---------------------------------------------14分

18、（本题满分14分）

（I）、
---------------------------------------------------4分

(II)、由（I）知
-----------------------------6分

所以
-----------10分

(III)、由重心性质知：
所以

所以
--------------------------------------------14分

19、（本题满分15分）

（I）、数列
的通项公式为
------------------------------------------------------4分

（II）、
错位相减法得
---------------------------9分（III）、
，由
-------------------11分

为偶数，因此只能取

,

所以有
---------------------------------------15分

（采用特殊值求出答案最多给2分，即每组答案1分）

20.（本小题满分15分）

解: （1）因为
时,
，所以令
,则有
,

所以
当
时恒成立，可转化为
，

即
在
上恒成立, -------------------------------------------------------------2分.

令
,所以
在
上单调递增, ------------------------3分.

所以
,所以有:
.

----------------------------------------------------------4分.

.--------------------------------------------------------------------------------------5分.

（2）当
时，
，即