姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试

高三年级数学试题（理） 2015．11

命题人：史记祥（省姜堰二中） 审核人：王如进 孟太

数学Ⅰ

（本卷考试时间：120分钟 总分160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．

1．若复数
（
是虚数单位），则
的实部为 ▲ ．

2．已知
，若
，则实数
的取值范围为 ▲ ．

3．若样本数据
的平均数为
，则数据
的平均数为 ▲ ．

4．若
满足
，则
的最大值为 ▲ ．

5．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果
为 ▲ ．

6．设
，则“
”是“
”的 ▲ 条件（从“充分不必要”、“必

要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）．

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ．

8．将函数
图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图像向右平移
个单位长度得到函数
，则
▲ ．

9．设
的内角
的对边分别为
，若
，则
▲ ．

10．在
中，点
满足
，若
，则
▲ ．

11．若函数
的值域是
，则实数
的取值范围是 ▲ ．

12．过点
作曲线
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，过点
再作曲线
的切线，切点为
，设
在
轴上的投影是点
，依次下去，得到第

个切点
，则点
的坐标为 ▲ ．

13．如果函数
在区间
单调递减，则
的最大值为 ▲ ．

14．设
，其中
均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的有 ▲

（写出所有正确条件的编号）

①
；②
；③
；④
；⑤

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

已知函数
．

（1）求
的最小正周期；

（2）求
在区间
上的最小值．

16．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系
中，已知向量
．

（1）若
，求
的值；

（2）若
与
的夹角为
，求
的值．

17．（本小题满分14分）

已知关于
的方程
．

（1）若方程的一根在区间
内，另一根在区间
内，求实数
的取值范围；

（2）若方程的两根都在区间
，求实数
的取值范围．

18．（本小题满分16分）

强度分别为
的两个光源
间的距离为
．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为
．线段
上有一点
，设
，
点处总照度为
．试就
时回答下列问题．（注：
点处的总照度为
受
光源的照度之和）

（1）试将
表示成关于
的函数，并写出其定义域；

（2）问：
为何值时，
点处的总照度最小？

19．（本小题满分16分）

已知
是各项均为正数的等比数列，
是等差数列，且

．

（1）求
和
的通项公式；

（2）设
，其前
项和为
．

①求
；

②若
对任意
恒成立，求
的最大值．

20．（本小题满分16分）

已知函数
．

（1）求函数
的单调递增区间；

（2）证明：当
时，
；

（3）确定实数
的所有可能取值，使得存在
，当
时，恒有
．

数学Ⅱ

（本卷考试时间：30分钟 总分40分）

21A．（本小题满分10分）

已知
分别是
内角
的对边，已知
，
，且
求
的面积．

21B．（本小题满分10分）

设数列
的前
项和
，且
成等差数列，求数列
的通项公式．

22．（本小题满分10分）

投资生产
产品时，每生产
需要资金200万元，需场地200
，可获得利润300万元；投资生产
产品时，每生产
需要资金300万元，需场地100
，可获得利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900
，问：应作怎样的组合投资，可使获利最大？

23．（本小题满分10分）

已知函数
．

（1）求
的单调性；

（2）设曲线
与
轴正半轴的交点为
，曲线在点
处的切线方程为
，求证：对于任意的正实数
,都有
．

姜堰区2015-2016学年度第一学期期中调研测试

高三年级数学试题（理）参考答案

数学Ⅰ

1.2 2.
3.15 4.2 5.7 6.充分不必要 7.
8.

9.
或3 10.
11.
12.
13.18 14. ①②③⑤

15. 解：（1）

-----------4分

所以
的最小正周期
-----------7分

（2）因为
，所以
-----------9分

所以当
，即
时 -----------11分

取最小值为
-----------14分

16．解：（1）因为
，所以

-----------4分

所以

因为
，所以
-----------7分

（2）由

-----------10分

因为
，所以
-----------12分

所以
，即
-----------14分

17．解：（1）令
，由题意可知

，即
-----------4分

解得
-----------7分

（2）由题意可知
-----------10分

解得
-----------14分

18．解：（1）由题意可知：

点处受
光源的照度为
-----------2分

点处受
光源的照度为
-----------4分

从而，
点的总照度为
， -----------6分

其定义域为
-----------7分

（2）对函数求导，可得
， -----------9分

令
，得
，

因为
，所以
，所以
，解得
-----------11分

当
-----------13分

因此，
时，
取得极小值，且是最小值 -----------15分

答：
时，
点处的总照度最小 -----------16分

19．解：（1）设
的公比为
，
的公差为
，由题意
，

由已知,有
-----------1分

解得
-----------3分

所以
的通项公式为
,
的通项公式为
----------5分

（2）由（1）有
，则

----------7分

两式相减得

所以
-----------10分

（3）令

由
，得
，即

解得对任意
成立，即数列
为单调递增数列，

所以
的最小项为
-----------13分

因为
对任意
恒成立，所以
，

所以
的最小值为
-----------16分

20．解：（1）函数的定义域为
-----------1分

对函数求导，得
-----------2分

由
，得
，解得

故
的单调递增区间为
-----------4分

证明：（2）令
，

则有